Exercício 1.1.11. Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), "Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem."Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, verifique a veracidade ou não das afirmações a seguir (é necessário justificar):
a) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c) Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
d) Entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
e) A diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
a) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c) Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
d) Entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
e) A diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre propriedades de conjuntos numéricos (irracionais, racionais, reais e inteiros). Vamos verificar se cada afirmação é verdadeira ou falsa, usando contraexemplos e propriedades como densidade dos números racionais e irracionais e fechamento de operações.
Passo 2
a) Diz que “o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional”. Basta um contraexemplo: considere
e
. Ambas são irracionais, mas
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
b) Diz que “a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional”. De novo, um contraexemplo:
e
são irracionais, mas
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
c) Afirma que “entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional”. Os irracionais são densos em
, isto é, existem infinitos irracionais em qualquer intervalo aberto. Por exemplo,
são dois irracionais distintos em
. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 5
d) Afirma que “entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional”. De fato, se
e
, então
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 6
e) Diz que “a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo”. Sejam
com
e
. Então
(fechamento sob subtração), mas pode ser positivo, por exemplo
Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
a) Falso.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
e) Falso.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
e) Falso.