Exercício 1.1.11. Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), "Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem."Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, verifique a veracidade ou não das afirmações a seguir (é necessário justificar):
a) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c) Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
d) Entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
e) A diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre propriedades de conjuntos numéricos (irracionais, racionais, reais e inteiros). Vamos verificar se cada afirmação é verdadeira ou falsa, usando contraexemplos e propriedades como densidade dos números racionais e irracionais e fechamento de operações.

Passo 2

a) Diz que “o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional”. Basta um contraexemplo: considere raiz2 e raiz2. Ambas são irracionais, mas
raiz2timesraiz2=2inQ
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

b) Diz que “a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional”. De novo, um contraexemplo: raiz2 e -raiz2 são irracionais, mas
raiz2+(-raiz2)=0inQ
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

c) Afirma que “entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional”. Os irracionais são densos em R, isto é, existem infinitos irracionais em qualquer intervalo aberto. Por exemplo,
3+(raiz2-1)e 3+(raiz3-1)
são dois irracionais distintos em (3,4). Logo, a afirmação é falsa.

Passo 5

d) Afirma que “entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional”. De fato, se a,binQ e a<b, então
a+b2inQe a<a+b2<b
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

e) Diz que “a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo”. Sejam m,ninZ com m<0 e n<0. Então m-ninZ (fechamento sob subtração), mas pode ser positivo, por exemplo
(-1)-(-2)=1>0
Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

a) Falso.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
e) Falso.

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