O material da base de um depósito retangular custa o dobro do preço p do material para os lados e a tampa. Para um volume fixo V, ache as dimensões relativas que minimizem o custo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre minimizar o custo de construir um depósito retangular com volume fixo $ V $. A gente vai precisar usar conceitos de otimização, especificamente cálculo para encontrar as dimensões que dão o menor custo possível. Além disso, precisamos considerar que o material da base custa o dobro do material dos lados e da tampa, cujo preço é $ p $.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões do depósito. Suponha que:
  • $ x $ seja a largura,
  • $ y $ seja o comprimento,
  • $ z $ seja a altura.
Como o volume $ V $ é fixo, temos a equação:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total de materiais. Sabemos que:
  • A base tem área $ x \times y $ e custa $ 2p $ por unidade de área.
  • Os lados e a tampa têm área total $ 2xz + 2yz + xy $ e custam $ p $ por unidade de área.
Então, o custo total $ C $ será:
x times y
Substituindo $ z $ pela expressão que encontramos:
2p

Passo 4

Vamos simplificar a expressão de $ C $:
C
C = 2p x y + p (2Vy + 2Vx + x y)
C = 2p x y + 2p Vy + 2p Vx + p x y

Passo 5

Para minimizar o custo $ C $, vamos derivar $ C $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualar a zero, encontrando os pontos críticos.
Primeiro, derivada parcial em relação a $ x $:
C
Daí, podemos resolver para $ y $:
C

Passo 6

Agora, derivada parcial em relação a $ y $:
y
Resolvendo para $ x $:
partial Cpartial y = 3p x - 2p Vy^2 = 0

Passo 7

Substituindo a expressão de $ y $ obtida no Passo 5 na expressão de $ x $ do Passo 6:
y
Multiplicando ambos os lados por $ 2 V $:
x
Dividindo por $ x $ (assumindo $ x \neq 0 $):
x = 2V3 ( 2V3x^2 )^2 = 2V3 ( 4V^29x^4 ) = 2V 12 V^29 x^4 = 2V times 9x^412 V^2 = 18 x^412 V = 3 x^42 V

Passo 8

Agora que temos $ x $, podemos encontrar $ y $ usando a relação do Passo 5:
x
Simplificando:
y

Passo 9

Finalmente, vamos encontrar $ z $ usando a equação do Passo 1:
z
Simplificando:
z = Vx y = V ( 2V3 )^1/3 times ( 2V3 )^1/3 = V ( 2V3 )^2/3 = V times ( 32V )^2/3 = ( V^3 ( 2V3 )^2 )^1/3 = ( 9 V4 )^1/3

Resposta

As dimensões relativas que minimizam o custo para um depósito retangular com volume fixo $ V $ são todas iguais a $ \left( \frac{2V}{3} \right)^{1/3} $. Ou seja,
V

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