O material da base de um depósito retangular custa o dobro do preço
do material para os lados e a tampa. Para um volume fixo
, ache as dimensões relativas que minimizem o custo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre minimizar o custo de construir um depósito retangular com volume fixo $ V $. A gente vai precisar usar conceitos de otimização, especificamente cálculo para encontrar as dimensões que dão o menor custo possível. Além disso, precisamos considerar que o material da base custa o dobro do material dos lados e da tampa, cujo preço é $ p $.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões do depósito. Suponha que:
- $ x $ seja a largura,
- $ y $ seja o comprimento,
- $ z $ seja a altura.
Como o volume $ V $ é fixo, temos a equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total de materiais. Sabemos que:
- A base tem área $ x \times y $ e custa $ 2p $ por unidade de área.
- Os lados e a tampa têm área total $ 2xz + 2yz + xy $ e custam $ p $ por unidade de área.
Então, o custo total $ C $ será:
Substituindo $ z $ pela expressão que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão de $ C $:
Passo 5
Para minimizar o custo $ C $, vamos derivar $ C $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualar a zero, encontrando os pontos críticos.
Primeiro, derivada parcial em relação a $ x $:
Daí, podemos resolver para $ y $:
Passo 6
Agora, derivada parcial em relação a $ y $:
Resolvendo para $ x $:
Passo 7
Substituindo a expressão de $ y $ obtida no Passo 5 na expressão de $ x $ do Passo 6:
Multiplicando ambos os lados por $ 2 V $:
Dividindo por $ x $ (assumindo $ x \neq 0 $):
Passo 8
Agora que temos $ x $, podemos encontrar $ y $ usando a relação do Passo 5:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, vamos encontrar $ z $ usando a equação do Passo 1:
Simplificando:
Resposta
As dimensões relativas que minimizam o custo para um depósito retangular com volume fixo $ V $ são todas iguais a $ \left( \frac{2V}{3} \right)^{1/3} $. Ou seja,