Uma onda plana viajando ao longo do eixo z em uma região preenchida com poliestireno com \varepsilon_{r}=2,54 tem um campo elétrico dado por E_{x}=E_{0} \cos (\omega t-k z) \underline{\hat{i}} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. A frequência é 2,4 \mathrm{GHz} e E_{0}=5,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Encontre: (a) a amplitude e a direção do campo magnético, (b) a velocidade de fase, (c) o comprimento de onda e (d) a variação de fase entre as posições z_{1}=0,1 m e z_{2}=0,15 m.
\mathrm{R}: H_{y}=0.021 \cos (\omega t-k z) \hat{\underline{j}} A / m \quad v_{p}=1.88 \times 10^{8} m / s \quad \lambda=0.078 m \quad \Delta \varphi=229.6^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana que viaja ao longo de z numa região de poliestireno com \varepsilon_{r}=2,54. O campo elétrico é
E_{x}=E_{0}\cos(\omega t-kz)\,\hat{\mathbf{i}}\\ \text{V}/\text{m},
com f=2{,}4\\ \text{GHz} e E_{0}=5{,}0\\ \text{V}/\text{m}. As perguntas são:
  • (a) encontrar a amplitude e a direção do campo magnético;
  • (b) encontrar a velocidade de fase;
  • (c) encontrar o comprimento de onda;
  • (d) encontrar a variação de fase entre z_{1}=0{,}1\\ \text{m} e z_{2}=0{,}15\\ \text{m}.
Informações relevantes e valores que usaremos:
  • Constante de velocidade da luz no vácuo c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Impedância do vácuo \eta_{0}=377\\ \Omega.
  • Para um dielétrico não magnético assumimos \mu_{r}=1 (poliestireno é não magnético), então \mu=\mu_{0} e \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}.
  • Relações fundamentais para onda plana propagando em +z: \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponta na direção de propagação; amplitude relacionada por E_{0}= \eta H_{0}, onde \eta é a impedância do meio; velocidade de fase v_{p}=1/\sqrt{\mu\varepsilon}=c/\sqrt{\varepsilon_{r}}; número de onda k=2\pi/\lambda.

Passo 2

Vou explicar a relação entre E e H para uma onda plana e definir as fórmulas que vamos usar.
  • Para uma onda plana harmônica sem perdas num meio linear, homogêneo e isotrópico existe uma impedância intrínseca do meio \eta dada por
\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}.
Aqui \mu é a permeabilidade do meio e \varepsilon a permissividade. Para materiais não magnéticos \mu=\mu_{0} e \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}, então
\eta=\dfrac{\eta_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}.
  • A magnitude das amplitudes elétrica e magnética relaciona-se por
E_{0}=\eta\,H_{0}\quad\Longrightarrow\quad H_{0}=\dfrac{E_{0}}{\eta}.
As direções estão relacionadas pela regra da mão direita: \mathbf{E}\times\mathbf{H} tem a direção da propagação. Se \mathbf{E} está em \hat{\mathbf{i}} e a onda vai em +z ( \hat{\mathbf{k}}), então \hat{\mathbf{i}}\times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}, logo \mathbf{H} deve estar em +\hat{\mathbf{j}}.

Passo 3

Calcular numericamente a impedância do poliestireno.
  • Primeiro a raiz de \varepsilon_{r}: \sqrt{\varepsilon_{r}}=\sqrt{2{,}54}.
    \sqrt{2{,}54}\approx1{,}593.
  • Então
    \eta=\dfrac{\eta_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}=\dfrac{377\\ \Omega}{1{,}593}\approx236{,}6\\ \Omega.
(Interpretação: a impedância do meio é menor que \eta_{0} porque \varepsilon_{r}>1.)

Passo 4

Encontrar a amplitude H_{0} e a forma do campo magnético (parte (a)).
  • Usando H_{0}=E_{0}/\eta:
    H_{0}=\dfrac{5{,}0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}}{236{,}6\\ \Omega}\approx2{,}11\times10^{-2}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}.
  • Direção: como explicado, a onda se propaga em +z, o campo elétrico está em +\hat{\mathbf{i}}, então o campo magnético deve estar em +\hat{\mathbf{j}} para satisfazer \hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}.
  • Como o meio é lossless (idealizado), H tem a mesma fase que E. Portanto o campo magnético é
    \mathbf{H}=H_{0}\cos(\omega t-kz)\,\hat{\mathbf{j}}
    com H_{0} calculado acima.

Passo 5

Calcular a velocidade de fase (parte (b)).
  • Fórmula: \displaystyle v_{p}=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}.
  • Substituindo:
    v_{p}=\dfrac{3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{1{,}593}\approx1{,}88\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
(Comentário prático: a presença do dielétrico reduz a velocidade da luz no meio em um fator \sqrt{\varepsilon_{r}}.)

Passo 6

Calcular o comprimento de onda (parte (c)).
  • Relação entre velocidade de fase, frequência e comprimento de onda:
    \lambda=\dfrac{v_{p}}{f}.
  • Com f=2{,}4\\ \mathrm{GHz}=2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} e v_{p} do passo anterior:
    \lambda=\dfrac{1{,}88\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}}\approx0{,}078\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular o número de onda k (necessário para a variação de fase):
k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
Com \lambda\approx0{,}078\\ \mathrm{m}:
k\approx\dfrac{2\pi}{0{,}078}\approx80{,}16\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 8

Calcular a variação de fase entre z_{1}=0{,}1\\ \mathrm{m} e z_{2}=0{,}15\\ \mathrm{m} (parte (d)).
  • A fase espacial na expressão \cos(\omega t-kz) varia com z como -kz. A diferença de fase entre z_{2} e z_{1} é
    \Delta\varphi=\varphi(z_{2})-\varphi(z_{1})=-k(z_{2}-z_{1}).
    Tomando \Delta z=z_{2}-z_{1}=0{,}05\\ \mathrm{m},
    \Delta\varphi=-k\Delta z\approx -80{,}16\times0{,}05\\ \mathrm{rad}\approx -4{,}008\\ \mathrm{rad}.
  • Em graus (multiplicando por 180^\circ/\pi):
    \Delta\varphi\approx -4{,}008\\ \mathrm{rad}\times\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx -229{,}6^\circ.
Observação sobre o sinal: a fase diminui quando z aumenta (por causa do termo -kz). Se preferir a magnitude da variação de fase, é 229{,}6^\circ; se quiser a variação algébrica de \varphi(z_{2})-\varphi(z_{1}), é -229{,}6^\circ.

Resposta

\mathbf{H}=2{,}11\times10^{-2}\cos(\omega t-kz)\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}
v_{p}=1{,}88\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
\lambda=0{,}078\\ \mathrm{m}
\Delta\varphi =229{,}6^\circ

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