Uma onda plana viajando ao longo do eixo
em uma região preenchida com poliestireno com
tem um campo elétrico dado por
. A frequência é
e
. Encontre: (a) a amplitude e a direção do campo magnético, (b) a velocidade de fase, (c) o comprimento de onda e (d) a variação de fase entre as posições
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma onda plana que viaja ao longo de
numa região de poliestireno com
. O campo elétrico é
com
e
. As perguntas são:
- (a) encontrar a amplitude e a direção do campo magnético;
- (b) encontrar a velocidade de fase;
- (c) encontrar o comprimento de onda;
- (d) encontrar a variação de fase entre
e .
Informações relevantes e valores que usaremos:
- Constante de velocidade da luz no vácuo
. - Impedância do vácuo
. - Para um dielétrico não magnético assumimos
(poliestireno é não magnético), então e . - Relações fundamentais para onda plana propagando em
: aponta na direção de propagação; amplitude relacionada por , onde é a impedância do meio; velocidade de fase ; número de onda .
Passo 2
Vou explicar a relação entre
e
para uma onda plana e definir as fórmulas que vamos usar.
- Para uma onda plana harmônica sem perdas num meio linear, homogêneo e isotrópico existe uma impedância intrínseca do meio
dada por
Aqui
é a permeabilidade do meio e
a permissividade. Para materiais não magnéticos
e
, então
- A magnitude das amplitudes elétrica e magnética relaciona-se por
As direções estão relacionadas pela regra da mão direita:
tem a direção da propagação. Se
está em
e a onda vai em
(
), então
, logo
deve estar em
.
Passo 3
Calcular numericamente a impedância do poliestireno.
-
Primeiro a raiz de
: . -
Então
(Interpretação: a impedância do meio é menor que
porque
.)
Passo 4
Encontrar a amplitude
e a forma do campo magnético (parte (a)).
-
Usando
: -
Direção: como explicado, a onda se propaga em
, o campo elétrico está em , então o campo magnético deve estar em para satisfazer . -
Como o meio é lossless (idealizado),
tem a mesma fase que . Portanto o campo magnético é comcalculado acima.
Passo 5
Calcular a velocidade de fase (parte (b)).
-
Fórmula:
-
Substituindo:
(Comentário prático: a presença do dielétrico reduz a velocidade da luz no meio em um fator
.)
Passo 6
Calcular o comprimento de onda (parte (c)).
-
Relação entre velocidade de fase, frequência e comprimento de onda:
-
Com
e do passo anterior:
Passo 7
Calcular o número de onda
(necessário para a variação de fase):
Com
:
Passo 8
Calcular a variação de fase entre
e
(parte (d)).
-
A fase espacial na expressão
varia com como . A diferença de fase entre e é Tomando, -
Em graus (multiplicando por
):
Observação sobre o sinal: a fase diminui quando
aumenta (por causa do termo
). Se preferir a magnitude da variação de fase, é
; se quiser a variação algébrica de
, é
.