Um material paramagnético com N partículas, sob ação de um campo magnético H , tem equação de estado M(T, H) e sua energia magnética é E=-M. H. Calcule,
M(T, H)=mu N tgh(mu HKB T)
a) CH, a capacidade térmica a campo constante
b) Susceptibilidade magnética isotérmica, chiT
c) a magnetização M(T, H) para T muito baixa T 0
d) escreva dS(T, H)
e) Calcule a variação da entropia em um processo no qual a temperatura inicial T0 é duplicada enquanto o campo aplicado H é mantido constante.

Passo 1

O enunciado descreve um paramagneto com N dipolos magnéticos de momento mu sob campo H, cuja magnetização é
M(T,H)=mu Ntanh!gl(mu HkB Tgr),,
e energia magnética E=-M,H. Precisamos de: (a) capacidade térmica a H constante, (b) susceptibilidade isotérmica chiT, (c) M para Tto0, (d) forma de dS, (e) variação de entropia entre T0 e 2T0 a H fixo. Vamos usar mecânica estatística simples: função de partição e relações termodinâmicas.

Passo 2

A função de partição de um dipolo é
Z1=2cosh(x), xequivmu HkB T,
logo o potencial livre por partícula é
f=-kB Tln Z1=-kBTlnl(2cosh xr)
Para N partículas F= Nf. A entropia é
S=-l(partial F/partial Tr)H =N kBl[ln(2cosh x)-xtanh xr]

Passo 3

A capacidade térmica a constante é
Como depende de só via e , obtém-se
com .

Passo 4

A susceptibilidade isotérmica é

Passo 5

No limite Tto0 temos x=mu H/(kBT)to+infty, logo
limTto0M(T,H) =mu Nlimxtoinftytanh x =mu N

Passo 6

Da primeira lei com trabalho magnético vem
Usando , fica

Passo 7

Para variação de entropia a H constante de T0 a 2T0, basta
De<a S =integralT0^2T0CHT,dT =S(2T0,H)-S(T0,H),
onde
S(T,H) =N kBl[lnl(2cosh xr)-xtanh xr], x=mu HkBT

Resposta

a) , com .
b) .
c) .
d) , ou explicitamente
e) , com

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