Mostre a seguinte identidade entre as susceptibilidades magnéticas isotérmica e adiabatica e os calores específicos,
chiS=chiT CMCH

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade entre as susceptibilidades magnéticas isotérmica e adiabática e os calores específicos, isto é,
chiS equiv l(partial Mpartial Hr)S e chiT equiv l(partial Mpartial Hr)T
satisfazem
chiS ;=;chiT,CMCH
onde
CH=Tl(partial Spartial Tr)H, CM=Tl(partial Spartial Tr)M
Para resolver, vamos usar:
– a diferencial de entropia em variáveis (T,H),
– a diferencial de magnetização em (T,H),
– relações de Maxwell (em particular (partial M/partial T)H=-(partial S/partial H)T),
– definições de calor específico.

Passo 2

Escrevemos a diferencial de S(T,H). Sabendo que
CH=Tl(partial Spartial Tr)H Longrightarrow l(partial Spartial Tr)H=CHT,
e usando a relação de Maxwell
l(partial Spartial Hr)T =-l(partial Mpartial Tr)H,
temos
dS =l(partial Spartial Tr)HdT +l(partial Spartial Hr)TdH =CHT,dT -l(partial Mpartial Tr)HdH
Impondo transformação adiabática ( dS=0), obtemos
0=CHT,dT -l(partial Mpartial Tr)HdH Longrightarrow l(partial Tpartial Hr)S =TCH, l(partial Mpartial Tr)H

Passo 3

Agora escrevemos a diferencial de M(T,H):
dM =l(partial Mpartial Hr)T dH +l(partial Mpartial Tr)H dT =chiT , dH +l(partial Mpartial Tr)H dT
Queremos chiS = (partial M / partial H)S, i.e. dM / dH com dS = 0. Substituindo dT = (partial T / partial H)S dH do passo anterior, achamos
chiS = l(dMdHr)S = chiT + l(partial Mpartial Tr)H l(partial Tpartial Hr)S = chiT + l(partial Mpartial Tr)H TCH l(partial Mpartial Tr)H,
ou seja
chiS = chiT + TCH , l(partial Mpartial Tr)H^2

Passo 4

Precisamos agora relacionar CM e CH. Observe dS em um processo de magnetização fixa ( dM=0). Da diferencial de M temos
dM =l(partial Mpartial Hr)TdH +l(partial Mpartial Tr)HdT =0 Longrightarrow dH =-(partial M/partial T)HchiT,dT
Substituindo em
dS =CHT,dT -l(partial Mpartial Tr)HdH
obtemos
dS =CHT,dT +l(partial Mpartial Tr)H (partial M/partial T)HchiT,dT =l[CHT +(partial M/partial T)H^2chiTr]dT
Mas por definição CM=T(partial S/partial T)M, logo
CM =CH +T,(partial M/partial T)H^2chiT

Passo 5

Voltando à expressão de chiS do passo 3, temos
chiS =chiT +TCH l(partial Mpartial Tr)H^2 =chiTl[1 +T,(partial M/partial T)H^2chiT,CHr]
Pela expressão do passo 4,
1+T,(partial M/partial T)H^2chiT,CH =CMCH,
logo finalmente
chiS =chiT,CMCH

Resposta

boxedchiS=chiT,CMCH

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