Um material radioativo decai proporcionalmente à quantidade presente:
Sabendo que
e que após 5 horas restam 70 g :
a) Determine
;
b) Calcule a meia-vida do material.
a) Determine
b) Calcule a meia-vida do material.
Passo 1
O que o problema dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- A equação diferencial que descreve o decaimento é
. - Condição inicial:
. - Informação adicional:
(isto é, após horas restam ).
- A equação diferencial que descreve o decaimento é
-
Perguntas:
a) Determinar, ou seja, a função que dá a quantidade em função do tempo.
b) Calcular a meia-vida do material (o tempo necessário para a quantidade cair à metade).
Passo 2
Entendendo a equação e o método para resolver: separação de variáveis.
A equação
diz que a taxa de variação de
é proporcional a
com constante de proporcionalidade
. Para resolver, usamos o método de separação de variáveis: colocamos todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro.
Escrevemos:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) e multiplicando por
obtemos:
Passo 3
Integrando ambos os lados e encontrar a solução geral.
Integramos as duas expressões:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
mais constante. Logo:
onde
é a constante de integração.
Exponenciando para isolar
:
Como
representa uma quantidade positiva, podemos remover o valor absoluto e escrever
, onde
. Essa é a forma geral da solução exponencial decrescente.
Passo 4
Usar a condição inicial
para determinar a constante
.
Colocando
em
:
Como
, segue que
Portanto a solução tem a forma
Passo 5
Determinar
usando a informação
.
Substituindo
e
em
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a fração:
Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para isolar
:
Note que
é negativo, então o lado direito também o é (como deve ser, porque
). Agora isolamos
:
Podemos calcular numericamente:
logo
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Escrever a resposta para
com o valor de
.
Substituindo
em
obtemos a expressão final:
onde
está em horas.
Passo 7
Entender e calcular a meia-vida: definição e fórmula.
A meia-vida
é o tempo necessário para que
atinja metade do valor inicial, ou seja,
. Usando a forma
:
Dividindo por
:
Tirando logaritmo natural:
Isolando
:
Usando a identidade
, fica mais simples:
Passo 8
Calcular numericamente a meia-vida com o valor de
.
Usando
e
:
Arredondando, a meia-vida é aproximadamente
horas (ou
h se quiser três casas decimais).