Um material radioativo decai proporcionalmente à quantidade presente:
\frac{d Q}{d t}=-k Q
Sabendo que Q(0)=100 \mathrm{~g} e que após 5 horas restam 70 g :
a) Determine Q(t);
b) Calcule a meia-vida do material.

Passo 1

O que o problema dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A equação diferencial que descreve o decaimento é \dfrac{dQ}{dt}=-kQ.
    • Condição inicial: Q(0)=100\\ \mathrm{g}.
    • Informação adicional: Q(5)=70\\ \mathrm{g} (isto é, após 5 horas restam 70\\ \mathrm{g}).
  • Perguntas:
    a) Determinar Q(t), ou seja, a função que dá a quantidade em função do tempo.
    b) Calcular a meia-vida do material (o tempo necessário para a quantidade cair à metade).

Passo 2

Entendendo a equação e o método para resolver: separação de variáveis.
A equação \dfrac{dQ}{dt}=-kQ diz que a taxa de variação de Q é proporcional a Q com constante de proporcionalidade -k. Para resolver, usamos o método de separação de variáveis: colocamos todos os termos em Q de um lado e os termos em t do outro.
Escrevemos:
\frac{dQ}{dt}=-kQ.
Dividindo ambos os lados por Q (assumindo Q\neq0) e multiplicando por dt obtemos:
\frac{dQ}{Q}=-k\,dt.

Passo 3

Integrando ambos os lados e encontrar a solução geral.
Integramos as duas expressões:
\int \frac{dQ}{Q}=\int -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln|Q| e a do lado direito é -kt mais constante. Logo:
\ln|Q|=-kt+C,
onde C é a constante de integração.
Exponenciando para isolar Q:
|Q|=e^{-kt+C}=e^{C}e^{-kt}.
Como Q representa uma quantidade positiva, podemos remover o valor absoluto e escrever Q(t)=A e^{-kt}, onde A=e^{C}>0. Essa é a forma geral da solução exponencial decrescente.

Passo 4

Usar a condição inicial Q(0)=100 para determinar a constante A.
Colocando t=0 em Q(t)=A e^{-kt}:
Q(0)=A e^{0}=A.
Como Q(0)=100, segue que
A=100.
Portanto a solução tem a forma
Q(t)=100\,e^{-kt}\quad(\text{em gramas}).

Passo 5

Determinar k usando a informação Q(5)=70.
Substituindo t=5 e Q(5)=70 em Q(t)=100 e^{-kt}:
70=100\,e^{-5k}.
Dividindo ambos os lados por 100:
\frac{70}{100}=e^{-5k}.
Simplificando a fração:
0,7=e^{-5k}.
Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para isolar k:
\ln(0,7)=-5k.
Note que \ln(0,7) é negativo, então o lado direito também o é (como deve ser, porque k>0). Agora isolamos k:
k=-\frac{1}{5}\ln(0,7).
Podemos calcular numericamente:
\ln(0,7)\approx -0,3566749439,
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k\approx -\frac{1}{5}\cdot(-0,3566749439)\approx 0,0713349888\\ \mathrm{h}^{-1}.
Arredondando razoavelmente:
k\approx 0,071335\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 6

Escrever a resposta para Q(t) com o valor de k.
Substituindo k em Q(t)=100 e^{-kt} obtemos a expressão final:
Q(t)=100\,e^{-0,071335\,t}\quad(\text{g}),
onde t está em horas.

Passo 7

Entender e calcular a meia-vida: definição e fórmula.
A meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para que Q atinja metade do valor inicial, ou seja, Q(t_{1/2})=\dfrac{100}{2}=50\\ \mathrm{g}. Usando a forma Q(t)=100 e^{-kt}:
50=100\,e^{-k t_{1/2}}.
Dividindo por 100:
0,5=e^{-k t_{1/2}}.
Tirando logaritmo natural:
\ln(0,5)=-k t_{1/2}.
Isolando t_{1/2}:
t_{1/2}=-\frac{1}{k}\ln(0,5).
Usando a identidade \ln(0,5)=-\ln(2), fica mais simples:
t_{1/2}=\frac{\ln(2)}{k}.

Passo 8

Calcular numericamente a meia-vida com o valor de k.
Usando k\approx 0,0713349888\\ \mathrm{h}^{-1} e \ln(2)\approx 0,6931471806:
t_{1/2}\approx \frac{0,6931471806}{0,0713349888}\approx 9,713\\ \text{horas}.
Arredondando, a meia-vida é aproximadamente 9,71 horas (ou 9,713 h se quiser três casas decimais).

Resposta

Q(t)=100\,e^{-0,071335\,t}\\ \mathrm{g}
t_{1/2}\approx 9,713\\ \mathrm{h}

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