Seja B=\left\{1, x, x^{2}\right\} a base canônica de P_{2}(\mathbb{R}) e C=\left\{1+x, 1-x, x^{2}\right\}.
(a) Determine a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}
(b) Calcule as coordenadas do polinômio p(x)=2+3 x-x^{2} em relação à base C.
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) das polinômios de grau <=2 com duas bases: a canônica
B = \{1,\,x,\,x^{2}\}
e
C = \{1+x,\,1-x,\,x^{2}\}.
Em (a) queremos a matriz de mudança de coordenadas de C para B, ou seja [I]_{C}^{B}. Em (b) precisamos expressar o polinômio
p(x) = 2 + 3x - x^{2}
como combinação linear dos vetores de C e achar suas coordenadas em C.
Passo 2
Para obter [I]_{C}^{B}, calculamos as coordenadas, em relação a B, de cada vetor de C.
O vetor 1+x tem coordenadas (1,1,0) em B porque
1+x = 1\cdot(1) + 1\cdot(x) + 0\cdot(x^{2}).
O vetor 1-x tem coordenadas (1,-1,0) em B porque
1-x = 1\cdot(1) + (-1)\cdot(x) + 0\cdot(x^{2}).
O vetor x^{2} tem coordenadas (0,0,1) em B porque
x^{2} = 0\cdot(1) + 0\cdot(x) + 1\cdot(x^{2}).
Passo 3
As colunas de [I]_{C}^{B} são exatamente essas coordenadas, na mesma ordem dos vetores de C. Logo,