Seja B=\left\{1, x, x^{2}\right\} a base canônica de P_{2}(\mathbb{R}) e C=\left\{1+x, 1-x, x^{2}\right\}.
(a) Determine a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}
(b) Calcule as coordenadas do polinômio p(x)=2+3 x-x^{2} em relação à base C.

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) das polinômios de grau <=2 com duas bases: a canônica
B = \{1,\,x,\,x^{2}\}
e
C = \{1+x,\,1-x,\,x^{2}\}.
Em (a) queremos a matriz de mudança de coordenadas de C para B, ou seja [I]_{C}^{B}. Em (b) precisamos expressar o polinômio
p(x) = 2 + 3x - x^{2}
como combinação linear dos vetores de C e achar suas coordenadas em C.

Passo 2

Para obter [I]_{C}^{B}, calculamos as coordenadas, em relação a B, de cada vetor de C.
  1. O vetor 1+x tem coordenadas (1,1,0) em B porque
1+x = 1\cdot(1) + 1\cdot(x) + 0\cdot(x^{2}).
  1. O vetor 1-x tem coordenadas (1,-1,0) em B porque
1-x = 1\cdot(1) + (-1)\cdot(x) + 0\cdot(x^{2}).
  1. O vetor x^{2} tem coordenadas (0,0,1) em B porque
x^{2} = 0\cdot(1) + 0\cdot(x) + 1\cdot(x^{2}).

Passo 3

As colunas de [I]_{C}^{B} são exatamente essas coordenadas, na mesma ordem dos vetores de C. Logo,
[I]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar as coordenadas de p(x)=2+3x-x^{2}\) em \(C\), escrevemos \[p(x) = \alpha\,(1+x) + \beta\,(1-x) + \gamma\,x^{2}.
Expandindo,
\alpha\,(1+x) + \beta\,(1-x) + \gamma\,x^{2} = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)\,x + \gamma\,x^{2}.
Comparando coeficientes com 2 + 3x - x^{2}, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = 2,\\\ \alpha - \beta = 3,\\\ \gamma = -1. \end{cases}
Da soma das duas primeiras equações vem 2\alpha = 5\], isto é, \(\alpha = \tfrac{5}{2}. Então \beta = 2 - \alpha = -\tfrac{1}{2} e \gamma = -1.

Resposta

(a)
[I]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) As coordenadas de p(x) em C são
[p]_{C} = \begin{pmatrix} \tfrac{5}{2}\\\\ -\tfrac{1}{2}\\\\ -1 \end{pmatrix}.

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