Sejam B=\{(1,0),(0,1)\}, C=\{(-1,1),(1,1)\} e D=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Encontre as matrizes mudança de base [I]_{B}^{C},[I]_{C}^{D} e [I]_{B}^{D}. Quais as coordenadas do vetor v=(-2,3) em relação a cada uma das bases? As coordenadas de um vetor w em relação à base C são
Quais as coordenadas de w em relação às bases B e D ?
Passo 1
O enunciado pede três matrizes de mudança de base em \mathbb{R}^2: [I]_{B}^{C}, [I]_{C}^{D} e [I]_{B}^{D}, onde B=\{(1,0),(0,1)\}, C=\{(-1,1),(1,1)\} e D=\{(\sqrt3,1),(\sqrt3,-1)\}.
Depois, quer as coordenadas do vetor v=(-2,3) em cada base e, dado
[w]_{C}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}_{C},
encontrar [w]_{B} e [w]_{D}.
Para resolver, vamos expressar cada vetor de uma base na outra, montando colunas das matrizes, e usar essas matrizes para transformar coordenadas.
Passo 2
Calcular [I]_{B}^{C}\). Esta é a matriz que leva coordenadas em \(B\) (padrão) para coordenadas em \(C\). As colunas são as coordenadas de \((1,0)\) e \((0,1)\) na base \(C\).
1. Para \((1,0)\), buscamos \((1,0)=a(-1,1)+b(1,1)\). As equações são
\[\begin{cases} -\,a + b = 1,\\\ \;a + b = 0. \end{cases}
Da segunda b=-a\]. Na primeira: \[-a +(-a)=1\implies a=-\tfrac12, b=\tfrac12.
Para (0,1), resolvemos (0,1)=a(-1,1)+b(1,1), isto é
\begin{cases} -\,a + b = 0,\\\ \;a + b = 1. \end{cases}
Da primeira b=a\]. Na segunda: \(2a=1\implies a=b=\tfrac12.
Calcular [I]_{C}^{D}\). As colunas são as coordenadas de \((-1,1)\) e \((1,1)\) na base \(D\).
1. Para \((-1,1)\), escrevemos
\[(-1,1)=a(\sqrt3,1)+b(\sqrt3,-1),
que dá o sistema
\begin{cases} \sqrt3\,(a+b)=-1,\\\ \;a - b =1. \end{cases}
Da primeira a+b=-\tfrac1{\sqrt3}\]. Da segunda \[b=a-1. Resolvend o sistema \displaystyle a=\frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2,\quad b=-\frac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2.
Para (1,1), temos
(1,1)=a(\sqrt3,1)+b(\sqrt3,-1),
que dá
\begin{cases} \sqrt3\,(a+b)=1,\\\ \;a - b =1. \end{cases}