Sejam B=\{(1,0),(0,1)\}, C=\{(-1,1),(1,1)\} e D=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Encontre as matrizes mudança de base [I]_{B}^{C},[I]_{C}^{D} e [I]_{B}^{D}. Quais as coordenadas do vetor v=(-2,3) em relação a cada uma das bases? As coordenadas de um vetor w em relação à base C são
[w]_{C}=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ -1 \end{array}\right]_{C}
Quais as coordenadas de w em relação às bases B e D ?

Passo 1

O enunciado pede três matrizes de mudança de base em \mathbb{R}^2: [I]_{B}^{C}, [I]_{C}^{D} e [I]_{B}^{D}, onde B=\{(1,0),(0,1)\}, C=\{(-1,1),(1,1)\} e D=\{(\sqrt3,1),(\sqrt3,-1)\}.
Depois, quer as coordenadas do vetor v=(-2,3) em cada base e, dado
[w]_{C}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}_{C},
encontrar [w]_{B} e [w]_{D}.
Para resolver, vamos expressar cada vetor de uma base na outra, montando colunas das matrizes, e usar essas matrizes para transformar coordenadas.

Passo 2

Calcular [I]_{B}^{C}\). Esta é a matriz que leva coordenadas em \(B\) (padrão) para coordenadas em \(C\). As colunas são as coordenadas de \((1,0)\) e \((0,1)\) na base \(C\). 1. Para \((1,0)\), buscamos \((1,0)=a(-1,1)+b(1,1)\). As equações são \[\begin{cases} -\,a + b = 1,\\\ \;a + b = 0. \end{cases}
Da segunda b=-a\]. Na primeira: \[-a +(-a)=1\implies a=-\tfrac12, b=\tfrac12.
  1. Para (0,1), resolvemos (0,1)=a(-1,1)+b(1,1), isto é
\begin{cases} -\,a + b = 0,\\\ \;a + b = 1. \end{cases}
Da primeira b=a\]. Na segunda: \(2a=1\implies a=b=\tfrac12.
Logo
[I]_{B}^{C} =\begin{pmatrix} -\,\tfrac12 & \tfrac12 \\[0.3em] \;\tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular [I]_{C}^{D}\). As colunas são as coordenadas de \((-1,1)\) e \((1,1)\) na base \(D\). 1. Para \((-1,1)\), escrevemos \[(-1,1)=a(\sqrt3,1)+b(\sqrt3,-1),
que dá o sistema
\begin{cases} \sqrt3\,(a+b)=-1,\\\ \;a - b =1. \end{cases}
Da primeira a+b=-\tfrac1{\sqrt3}\]. Da segunda \[b=a-1. Resolvend o sistema \displaystyle a=\frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2,\quad b=-\frac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2.
  1. Para (1,1), temos
(1,1)=a(\sqrt3,1)+b(\sqrt3,-1),
que dá
\begin{cases} \sqrt3\,(a+b)=1,\\\ \;a - b =1. \end{cases}
Isto fornece (\displaystyle a=\frac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2,\quad b=\frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2].
Portanto
[I]_{C}^{D} =\begin{pmatrix} \frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2 & \frac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2 \\[0.3em] -\frac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2 & \frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular [I]_{B}^{D}=[I]_{C}^{D}\,[I]_{B}^{C}.
Fazendo a multiplicação de matrizes, obtemos
[I]_{B}^{D} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt3} & \tfrac12 \\[0.3em] \frac{1}{2\sqrt3} & -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Coordenadas de v=(-2,3).
  1. Em B (padrão) é [v]_{B}=(-2,3).
  2. Em C:
[v]_{C} =[I]_{B}^{C}\,[v]_{B} =\begin{pmatrix}-\tfrac12 & \tfrac12\\[0.2em]\tfrac12 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5/2\\\ 1/2\end{pmatrix}.
  1. Em D:
[v]_{D} =[I]_{B}^{D}\,[v]_{B} =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2\sqrt3} & \tfrac12\\[0.2em] \tfrac{1}{2\sqrt3} & -\tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{3}{2}-\tfrac1{\sqrt3}\\[0.2em] -\,\tfrac{3}{2}-\tfrac1{\sqrt3} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Coordenadas de w. Sabemos [w]_{C}=(3,-1).
  1. Em B: w=3(-1,1)-1(1,1)=(-3,3)+(-1,-1)=(-4,2), logo
[w]_{B}=\begin{pmatrix}-4\\\ 2\end{pmatrix}.
  1. Em D:
[w]_{D} =[I]_{C}^{D}\,[w]_{C} =\begin{pmatrix} \frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2 & \frac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2\\[0.3em] -\frac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2 & \frac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-\tfrac{2}{\sqrt3}\\[0.3em] -1-\tfrac{2}{\sqrt3} \end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{B}^{C} = \displaystyle\begin{pmatrix}-\tfrac12 & \tfrac12\\[0.3em]\tfrac12 & \tfrac12\end{pmatrix}
[I]_{C}^{D} = \displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2 & \tfrac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2\\[0.3em]-\tfrac{1+\tfrac1{\sqrt3}}2 & \tfrac{1-\tfrac1{\sqrt3}}2\end{pmatrix}
[I]_{B}^{D} = \displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac1{2\sqrt3} & \tfrac12\\[0.3em]\tfrac1{2\sqrt3} & -\tfrac12\end{pmatrix}
[v]{B} = \displaystyle\begin{pmatrix}-2\\\ 3\end{pmatrix},
[v]
{C} = \displaystyle\begin{pmatrix}5/2\\\ 1/2\end{pmatrix},
[v]_{D} = \displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}-\tfrac1{\sqrt3}\\[0.2em]-\tfrac{3}{2}-\tfrac1{\sqrt3}\end{pmatrix}.
[w]_{B} = \displaystyle\begin{pmatrix}-4\\\ 2\end{pmatrix},
[w]_{D} = \displaystyle\begin{pmatrix}1-\tfrac{2}{\sqrt3}\\[0.2em]-1-\tfrac{2}{\sqrt3}\end{pmatrix}.]

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