Em \mathbb{R}^{3}, considere os sub-espaços W_{1}=\{(x, y, z): x=0\} e W_{2}=[(1,1,0),(0,0,2)]. Determine uma base e a dimensão de W_{1} \cap W_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3: W_1=\{(x,y,z)\mid x=0\}, que é o plano dos vetores com primeira coordenada nula; W_2=\span\{(1,1,0),(0,0,2)\}, que é um plano gerado por esses dois vetores.
Queremos encontrar W_1\cap W_2, ou seja, todos os vetores que pertencem simultaneamente a W_1 e a W_2. Para isso, vamos descrever genericamente um vetor de W_2 e impor a condição x=0.

Passo 2

Um vetor genérico de W_2 pode ser escrito como combinação linear dos geradores:
(a,a,0)+ (0,0,2b) = (a,a,2b),
onde a,b\in\mathbb{R}. Esse é o parâmetro que descreve todo W_2.

Passo 3

Para estar em W_1, a primeira coordenada deve ser zero. Logo, impomos
a = 0.
Substituindo em (a,a,2b) obtemos
(0,0,2b) = b\,(0,0,2).
Portanto
W_1\cap W_2 = \{\,b\,(0,0,2)\mid b\in\mathbb{R}\} = \span\{(0,0,2)\}.

Passo 4

Uma base de W_1\cap W_2 é, por exemplo, \{(0,0,2)\}. Como há um vetor na base, a dimensão é
\dim(W_1\cap W_2)=1.

Resposta

Uma base de W_{1}\cap W_{2} é \{(0,0,2)\} e \dim(W_{1}\cap W_{2})=1.

Exercícios relacionados