Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
. Mostre que
não é base de
se:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um subconjunto
de um espaço vetorial
não pode ser uma base se ele contiver o vetor zero. Vamos usar o fato de que uma base precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço.
Passo 2
Lembrando a definição, uma família
é base de
se e só se
-
gera (ou seja, ) -
é linearmente independente (nenhuma combinação não-trivial de vetores de dá o zero, exceto a combinação trivial).
Passo 3
Se
, consideramos a combinação linear
Nessa soma, o coeficiente do vetor
é
. Logo existe uma combinação não-trivial de vetores de
que resulta em zero, o que mostra que
é linearmente dependente.
Passo 4
Como uma base não pode ser linearmente dependente, concluímos que qualquer
com
não pode ser base de
.
Resposta
Qualquer subconjunto
que contenha o vetor zero não é base de
, pois falha na independência linear.