Seja \beta um subconjunto de um espaço vetorial V. Mostre que \beta não é base de V se:
0 \in \beta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um subconjunto \beta de um espaço vetorial V não pode ser uma base se ele contiver o vetor zero. Vamos usar o fato de que uma base precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço.

Passo 2

Lembrando a definição, uma família \beta\subseteq V é base de V se e só se
  1. \beta gera V (ou seja, \Span(\beta)=V)
  2. \beta é linearmente independente (nenhuma combinação não-trivial de vetores de \beta dá o zero, exceto a combinação trivial).

Passo 3

Se 0\in\beta, consideramos a combinação linear
1\cdot 0 + \sum_{v\in\beta,\;v\neq0}0\cdot v \;=\;0.
Nessa soma, o coeficiente do vetor 0 é 1\neq0. Logo existe uma combinação não-trivial de vetores de \beta que resulta em zero, o que mostra que \beta é linearmente dependente.

Passo 4

Como uma base não pode ser linearmente dependente, concluímos que qualquer \beta com 0\in\beta não pode ser base de V.

Resposta

Qualquer subconjunto \beta\subseteq V que contenha o vetor zero não é base de V, pois falha na independência linear.

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