Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
. Mostre que
não é base de
se:
possui dois vetores múltiplos um do outro
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um subconjunto
de um espaço vetorial
não pode ser base de
sempre que existirem em
dois vetores proporcionais. O que precisamos usar é a definição de base: um conjunto é base se, e somente se, gera
e é linearmente independente. Logo, basta mostrar que a presença de dois vetores múltiplos implica dependência linear.
Passo 2
Lembre que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, ou seja, coeficientes todos nulos. E uma base, além de gerar
, exige precisamente essa independência linear. Portanto, para provar que
não é base basta mostrar que ela é linearmente dependente.
Passo 3
Suponha que em
haja dois vetores distintos
e
tais que
para algum escalar
. Então considere a combinação linear
Os coeficientes aqui são
e
, nem ambos zero, e ainda assim produzem o vetor zero. Isso demonstra imediatamente que
e
são linearmente dependentes, e portanto todo o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 4
Como
não é linearmente independente, ela fracassa na condição necessária para ser base de
. Concluímos que, se
contém dois vetores múltiplos entre si, então
não é base de
.