Seja \beta um subconjunto de um espaço vetorial V. Mostre que \beta não é base de V se:
\beta possui dois vetores múltiplos um do outro

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um subconjunto \beta de um espaço vetorial V não pode ser base de V sempre que existirem em \beta dois vetores proporcionais. O que precisamos usar é a definição de base: um conjunto é base se, e somente se, gera V e é linearmente independente. Logo, basta mostrar que a presença de dois vetores múltiplos implica dependência linear.

Passo 2

Lembre que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, ou seja, coeficientes todos nulos. E uma base, além de gerar V, exige precisamente essa independência linear. Portanto, para provar que \beta não é base basta mostrar que ela é linearmente dependente.

Passo 3

Suponha que em \beta haja dois vetores distintos u e v tais que
v = \lambda\,u
para algum escalar \lambda\neq 0. Então considere a combinação linear
1\cdot v \;-\;\lambda\cdot u \;=\;0.
Os coeficientes aqui são 1 e -\lambda, nem ambos zero, e ainda assim produzem o vetor zero. Isso demonstra imediatamente que u e v são linearmente dependentes, e portanto todo o conjunto \beta é linearmente dependente.

Passo 4

Como \beta não é linearmente independente, ela fracassa na condição necessária para ser base de V. Concluímos que, se \beta contém dois vetores múltiplos entre si, então \beta não é base de V.

Resposta

\beta não pode ser base de V porque possuir dois vetores múltiplos implica dependência linear, violando a condição de independência de uma base.

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