Em \mathbb{R}^{2}, dados \lambda \in \mathbb{R}, u=\left(u_{1}, u_{2}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}\right) vamos considerar as operações de soma +e produto por um escalar \cdot definidas de três formas diferentes:
Em cada caso, dizer quais condições (da adição e da multiplicação por um escalar) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
(c) u+v=\left(2 u_{1}+2 v_{1}, 3 u_{2}+3 v_{2}\right), \lambda \cdot u=\left(\lambda u_{2}, \lambda u_{1}\right).

Passo 1

O enunciado dá em \mathbb R^2 as operações
u+v = \bigl(2u_1+2v_1,\;3u_2+3v_2\bigr), \quad \lambda\cdot u = \bigl(\lambda u_2,\;\lambda u_1\bigr).
Queremos testar quais axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade da soma, existência de zero, existência de inverso aditivo, fechamento do produto escalar, distributividades, associatividade escalar e 1\cdot u=u) continuam válidos e quais se quebram.

Passo 2

Verificação dos axiomas de soma:
  1. Fechamento: para u,v\in\mathbb R^2, (2u_1+2v_1,3u_2+3v_2) está em \mathbb R^2. Logo, fechamento vale.
  2. Comutatividade:
u+v = \bigl(2u_1+2v_1,3u_2+3v_2\bigr) =(2v_1+2u_1,3v_2+3u_2)=v+u.
Portanto, é comutativa.
3. Associatividade: calculemos
(u+v)+w =\bigl(2(2u_1+2v_1)+2w_1,\;3(3u_2+3v_2)+3w_2\bigr) =(4u_1+4v_1+2w_1,\;9u_2+9v_2+3w_2),
enquanto
u+(v+w) =\bigl(2u_1+2(2v_1+2w_1),\;3u_2+3(3v_2+3w_2)\bigr) =(2u_1+4v_1+4w_1,\;3u_2+9v_2+9w_2).
Como esses resultados diferem, a soma não é associativa.
4. Zero e inverso: sem associatividade não há elemento neutro consistente (pois resolver u+e=u leva a e dependente de u) nem inverso aditivo universal.

Passo 3

Verificação dos axiomas de produto escalar:
  1. Fechamento: claro, (\lambda u_2,\lambda u_1)\in\mathbb R^2.
  2. Distributividade em relação à soma de vetores:
\lambda\cdot(u+v) =\bigl(\lambda\,(3u_2+3v_2),\;\lambda\,(2u_1+2v_1)\bigr) =(3\lambda u_2+3\lambda v_2,\;2\lambda u_1+2\lambda v_1),
enquanto
\lambda\cdot u + \lambda\cdot v =(2\lambda u_2+2\lambda v_2,\;3\lambda u_1+3\lambda v_1).
Não coincidem, então falha essa distributividade.
3. Distributividade em relação à adição de escalares:
(\lambda+\mu)\cdot u =\bigl((\lambda+\mu)u_2,\;(\lambda+\mu)u_1\bigr) \neq \bigl(2\lambda u_2+2\mu u_2,\;3\lambda u_1+3\mu u_1\bigr) =\lambda\cdot u + \mu\cdot u.
  1. Associatividade escalar:
\lambda\cdot(\mu\cdot u) =\lambda\cdot(\mu u_2,\mu u_1) =(\lambda\mu u_1,\;\lambda\mu u_2) \neq \bigl((\lambda\mu)u_2,(\lambda\mu)u_1\bigr) =(\lambda\mu)\cdot u.
  1. Identidade escalar:
1\cdot u = (1\cdot u_2,\;1\cdot u_1)=(u_2,u_1)\neq(u_1,u_2)=u.
Logo, todos os axiomas de compatibilidade escalar (exceto fechamento) são violados.

Passo 4

Resumo final:
  • Dos axiomas de adição, valem apenas fechamento e comutatividade; associatividade, elemento neutro e inverso aditivo falham.
  • Do produto escalar, vale apenas fechamento; distributividades, associatividade escalar e 1\cdot u=u são violados.

Resposta

Dos axiomas de espaço vetorial, mantêm-se somente o fechamento em ambas as operações e a comutatividade da soma. Todos os demais axiomas (associatividade da soma, existência de zero e inverso aditivo, distributividades, associatividade escalar e 1\cdot u=u) são violados.

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