Em
, dados
e
vamos considerar as operações de soma +e produto por um escalar
definidas de três formas diferentes:
Em cada caso, dizer quais condições (da adição e da multiplicação por um escalar) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado dá em
as operações
Queremos testar quais axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade da soma, existência de zero, existência de inverso aditivo, fechamento do produto escalar, distributividades, associatividade escalar e
) continuam válidos e quais se quebram.
Passo 2
Verificação dos axiomas de soma:
- Fechamento: para
, está em . Logo, fechamento vale. - Comutatividade:
Portanto, é comutativa.
3. Associatividade: calculemos
3. Associatividade: calculemos
enquanto
Como esses resultados diferem, a soma não é associativa.
4. Zero e inverso: sem associatividade não há elemento neutro consistente (pois resolver leva a
dependente de
) nem inverso aditivo universal.
4. Zero e inverso: sem associatividade não há elemento neutro consistente (pois resolver
Passo 3
Verificação dos axiomas de produto escalar:
- Fechamento: claro,
. - Distributividade em relação à soma de vetores:
enquanto
Não coincidem, então falha essa distributividade.
3. Distributividade em relação à adição de escalares:
3. Distributividade em relação à adição de escalares:
- Associatividade escalar:
- Identidade escalar:
Logo, todos os axiomas de compatibilidade escalar (exceto fechamento) são violados.
Passo 4
Resumo final:
- Dos axiomas de adição, valem apenas fechamento e comutatividade; associatividade, elemento neutro e inverso aditivo falham.
- Do produto escalar, vale apenas fechamento; distributividades, associatividade escalar e
são violados.
Resposta
Dos axiomas de espaço vetorial, mantêm-se somente o fechamento em ambas as operações e a comutatividade da soma. Todos os demais axiomas (associatividade da soma, existência de zero e inverso aditivo, distributividades, associatividade escalar e
) são violados.