Em
, dados
e
vamos considerar as operações de soma +e produto por um escalar
definidas de três formas diferentes:
Em cada caso, dizer quais condições (da adição e da multiplicação por um escalar) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado define em
as operações
Queremos verificar quais axiomas de espaço vetorial (adição e multiplicação por escalar) permanecem válidos e quais são violados.
Passo 2
Verificação das propriedades da adição:
- Fechamento: para quaisquer
, . - Comutatividade:
. - Associatividade:
Passo 3
Elemento neutro da adição: queremos
tal que
, i.e.
Isto exige
e
. Logo o vetor zero é
e existe.
Passo 4
Inverso aditivo: para dado
buscamos
tal que
.
Isto leva a
Isto leva a
que existe somente se
e
. Para vetores com alguma coordenada nula não há inverso. Portanto o axioma de existência de inverso aditivo é violado.
Passo 5
Fechamento da multiplicação por escalar: se
e
, então
. Fechamento OK.
Passo 6
Distributividade de
sobre soma de vetores:
enquanto
não coincidem em geral. A distributividade
falha.
Passo 7
Distributividade de soma de escalares sobre vetor:
enquanto
também não coincide. A distributividade
falha.
Passo 8
Compatibilidade com produto de escalares:
porém
logo
. A compatibilidade falha.
Passo 9
Elemento neutro escalar:
Portanto
e o axioma unitário falha.
Resposta
Válidos:
- Fechamento, comutatividade e associatividade da adição.
- Existência do elemento neutro aditivo
. - Fechamento da multiplicação por escalar.
Violados:
- Existence de inverso aditivo (falha quando
). - Distributividade
. - Distributividade
. - Compatibilidade
. - Elemento unitário
.