Em \mathbb{R}^{2}, dados \lambda \in \mathbb{R}, u=\left(u_{1}, u_{2}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}\right) vamos considerar as operações de soma +e produto por um escalar \cdot definidas de três formas diferentes:
Em cada caso, dizer quais condições (da adição e da multiplicação por um escalar) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
(b) u+v=\left(u_{1} v_{1}, u_{2} v_{2}\right), \lambda \cdot u=\left(\lambda u_{1}, 3 \lambda u_{2}\right);

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 as operações
u+v=(u_1v_1,\;u_2v_2), \quad \lambda\cdot u=(\lambda u_1,\;3\lambda u_2).
Queremos verificar quais axiomas de espaço vetorial (adição e multiplicação por escalar) permanecem válidos e quais são violados.

Passo 2

Verificação das propriedades da adição:
  • Fechamento: para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^2, u+v=(u_1v_1,u_2v_2)\in\mathbb{R}^2.
  • Comutatividade: u+v=(u_1v_1,u_2v_2)=(v_1u_1,v_2u_2)=v+u.
  • Associatividade:
(u+v)+w =\bigl(u_1v_1,w_1\bigr)\!+\!w =\bigl(u_1v_1w_1,\;u_2v_2w_2\bigr) =u+(v+w).

Passo 3

Elemento neutro da adição: queremos e=(e_1,e_2) tal que u+e=u, i.e.
(u_1e_1,u_2e_2)=(u_1,u_2) \quad\forall u.
Isto exige e_1=1 e e_2=1. Logo o vetor zero é (1,1) e existe.

Passo 4

Inverso aditivo: para dado u buscamos v tal que u+v=(1,1).
Isto leva a
(u_1v_1,u_2v_2)=(1,1) \;\Longrightarrow\; v=(1/u_1,\,1/u_2),
que existe somente se u_1\neq0 e u_2\neq0. Para vetores com alguma coordenada nula não há inverso. Portanto o axioma de existência de inverso aditivo é violado.

Passo 5

Fechamento da multiplicação por escalar: se \lambda\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^2, então \lambda\cdot u=(\lambda u_1,3\lambda u_2)\in\mathbb{R}^2. Fechamento OK.

Passo 6

Distributividade de \lambda sobre soma de vetores:
\lambda\cdot(u+v) =(\lambda u_1v_1,\;3\lambda u_2v_2),
enquanto
\lambda\cdot u+\lambda\cdot v =(\lambda u_1,3\lambda u_2)+(\lambda v_1,3\lambda v_2) =(\lambda u_1\cdot\lambda v_1,\;3\lambda u_2\cdot3\lambda v_2) =(\lambda^2u_1v_1,\;9\lambda^2u_2v_2),
não coincidem em geral. A distributividade \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v falha.

Passo 7

Distributividade de soma de escalares sobre vetor:
(\lambda+\mu)\cdot u =\bigl((\lambda+\mu)u_1,\;3(\lambda+\mu)u_2\bigr),
enquanto
\lambda\cdot u+\mu\cdot u =(\lambda u_1,3\lambda u_2)+(\mu u_1,3\mu u_2) =(\lambda u_1\cdot\mu u_1,\;3\lambda u_2\cdot3\mu u_2),
também não coincide. A distributividade (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u falha.

Passo 8

Compatibilidade com produto de escalares:
(\lambda\mu)\cdot u =(\lambda\mu\,u_1,\;3\lambda\mu\,u_2),
porém
\lambda\cdot(\mu\cdot u) =\lambda\cdot(\mu u_1,3\mu u_2) =(\lambda\mu u_1,\;3\lambda\cdot3\mu u_2) =(\lambda\mu u_1,\;9\lambda\mu u_2),
logo (\lambda\mu)u\neq\lambda(\mu u). A compatibilidade falha.

Passo 9

Elemento neutro escalar:
1\cdot u=(1\cdot u_1,\;3\cdot1\cdot u_2)=(u_1,3u_2)\neq(u_1,u_2).
Portanto 1\cdot u\neq u e o axioma unitário falha.

Resposta

Válidos:
  • Fechamento, comutatividade e associatividade da adição.
  • Existência do elemento neutro aditivo (1,1).
  • Fechamento da multiplicação por escalar.
Violados:
  • Existence de inverso aditivo (falha quando u_i=0).
  • Distributividade \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v.
  • Distributividade (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u.
  • Compatibilidade (\lambda\mu)u=\lambda(\mu u).
  • Elemento unitário 1\cdot u=u.

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