Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
(a) W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x-3 y=0, z+4 w=0\right\},

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = \{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 \mid 2x - 3y = 0,\; z + 4w = 0\}
e pede para verificar se é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4. Para isso vamos usar a definição de subespaço: mostrar que o vetor nulo está em W, que W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo (0,0,0,0) pertence a W. De fato,
2\cdot 0 -3\cdot 0 = 0
e
0 + 4\cdot 0 = 0,
portanto (0,0,0,0) satisfaz ambas as igualdades e está em W.

Passo 3

Sejam \mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1,w_1) e \mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2,w_2)
vetores em W. Então
2(x_1+x_2) - 3(y_1+y_2) = (2x_1-3y_1)+(2x_2-3y_2) = 0+0 = 0
e
(z_1+z_2) + 4(w_1+w_2) = (z_1+4w_1)+(z_2+4w_2) = 0+0 = 0.
Logo \mathbf{u}+\mathbf{v} também satisfaz as equações e pertence a W, mostrando o fechamento sob soma.

Passo 4

Seja \alpha\in \mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z,w) em W. Então
2(\alpha x) - 3(\alpha y) = \alpha(2x-3y) = \alpha\cdot 0 = 0
e
\alpha z + 4(\alpha w) = \alpha(z+4w) = \alpha\cdot 0 = 0.
Portanto \alpha \mathbf{u} satisfaz as mesmas equações e está em W, mostrando o fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

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