No \mathbb{R}^{2} determine o vetor coordenada e a matriz coordenada de v=(8,6) em relação as bases:
\{(2,0),(1,3)\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em \mathbb{R}^2:
  1. o vetor coordenada de v=(8,6) na base B=\{(2,0),(1,3)\}, ou seja, encontrar [v]_B;
  2. a matriz de mudança de base de B para a base canônica, cujas colunas são os vetores de B.

Passo 2

Para achar [v]_B, suponho que existam escalares a,b tais que
a\,(2,0)+b\,(1,3)=(8,6).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2a+b=8,\\\\ 3b=6. \end{cases}

Passo 3

Resolvo o sistema: da segunda equação vem b=2. Substituindo na primeira,
2a+2=8 \quad\Longrightarrow\quad 2a=6 \quad\Longrightarrow\quad a=3.
Logo,
[v]_B = (a,b) = (3,2).

Passo 4

A matriz coordenada (ou matriz de passagem) de B para a base canônica é montada colocando os vetores de B como colunas, isto é,
P_{B\to\text{can}} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

[v]_B = (3,2) P_{B\to\text{can}} = \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix}

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