Questão 5 (20 pontos)
A partir do vetor v_{1}=(1,-3,1), construir uma base ortonormal do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 que contenha o vetor v_1=(1,-3,1). Vamos usar o processo de Gram–Schmidt: primeiro normalizamos v_1 para obter e_1, depois escolhemos um vetor v_2' não paralelo a v_1, ortogonalizamos em relação a e_1 e normalizamos para obter e_2, e finalmente definimos e_3=e_1\times e_2 que já será unitário e ortogonal aos dois anteriores.

Passo 2

Calcular a norma de
v_1=(1,-3,1),
\|v_1\|=\sqrt{1^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{11}.
Logo a primeira direção ortonormal é
e_1=\frac{v_1}{\|v_1\|} =\biggl(\frac{1}{\sqrt{11}},-\frac{3}{\sqrt{11}},\frac{1}{\sqrt{11}}\biggr).

Passo 3

Escolhemos um vetor simples não paralelo a v_1, por exemplo
v_2'=(0,1,0).
Calculamos a projeção de v_2' em e_1:
\langle v_2',e_1\rangle =0\cdot\frac{1}{\sqrt{11}}+1\cdot\Bigl(-\frac{3}{\sqrt{11}}\Bigr)+0\cdot\frac{1}{\sqrt{11}} =-\frac{3}{\sqrt{11}},
\mathrm{proj}_{e_1}(v_2') =\langle v_2',e_1\rangle\,e_1 =-\frac{3}{\sqrt{11}}\,e_1.
O vetor ortogonal a e_1 é
u_2=v_2'-\mathrm{proj}_{e_1}(v_2') =(0,1,0)+\frac{3}{\sqrt{11}}\,\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{11}},-\tfrac{3}{\sqrt{11}},\tfrac{1}{\sqrt{11}}\bigr) =\bigl(\tfrac{3}{11},\tfrac{2}{11},\tfrac{3}{11}\bigr).
Sua norma é
\|u_2\| =\sqrt{\bigl(\tfrac{3}{11}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{2}{11}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{3}{11}\bigr)^2} =\frac{\sqrt{22}}{11}.
Portanto
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|} =\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{22}},\tfrac{2}{\sqrt{22}},\tfrac{3}{\sqrt{22}}\Bigr).

Passo 4

Como e_1 e e_2 já são ortonormais, definimos
e_3=e_1\times e_2.
O produto vetorial dá
e_1\times e_2 =\frac{1}{\sqrt{11}\,\sqrt{22}} \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-3&1\\\\ 3&2&3 \end{vmatrix} =\frac{1}{11\sqrt{2}}\,(-11,0,11) =\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr),
que já tem norma 1.

Resposta

Assim, uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 contendo v_1 é
e_1=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{11}},-\tfrac{3}{\sqrt{11}},\tfrac{1}{\sqrt{11}}\Bigr), \quad e_2=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{22}},\tfrac{2}{\sqrt{22}},\tfrac{3}{\sqrt{22}}\Bigr), \quad e_3=\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

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