Verificar se os conjuntos são LI ou LD.
\{(1,-2,0,3),(2,-1,0,0),(1,0,0,0)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
v_1=(1,-2,0,3),\quad v_2=(2,-1,0,0),\quad v_3=(1,0,0,0)
em \mathbb{R}^4 é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso vamos usar a definição: dizemos que \{v_1,v_2,v_3\} é LI se a única solução do sistema
\alpha\,v_1+\beta\,v_2+\gamma\,v_3 = (0,0,0,0)
for \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear igual a (0,0,0,0) geramos o sistema de equações nas componentes:
\alpha(1) + \beta(2) + \gamma(1) = 0,
\alpha(-2) + \beta(-1) + \gamma(0) = 0,
\alpha(0) + \beta(0) + \gamma(0) = 0,
\alpha(3) + \beta(0) + \gamma(0) = 0.

Passo 3

Resolvendo a partir da quarta equação:
3\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=0.
Substituindo em segunda equação:
-2\cdot0 \;+\;-1\cdot\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta=0.
E na primeira:
0 + 2\cdot0 + \gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma=0.
A terceira equação era 0=0, que não impõe nenhuma condição extra.
Como a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, os vetores são LI.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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