( \mathbf{20} pontos) A velocidade inicial de reação ( v_{0} ) em função da concentração inicial de acetaldeído ( \left[\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}\right]_{0} ) foi calculada experimentalmente para a decomposição deste composto segundo a equação química abaixo:
\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{CH}_{4}(\mathrm{~g})+\mathrm{CO}(\mathrm{~g}):
Os dados cinéticos obtidos são mostrados na tabela a seguir:
Experimento \left[\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}\right]_{0} / \mathrm{molL}^{-1} v_{0} / \mathrm{molL}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}
1 0,10 9,0 \times 10^{-7}
2 0,20 3,6 \times 10^{-6}
3 0,30 8,1 \times 10^{-6}
4 0,40 1,44 \times 10^{-5}
Determine qual será a velocidade inicial da reação quando a concentração inicial de acetaldeído for igual a 0,73 \mathrm{molL}{ }^{-1}.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade inicial v_{0} medida para quatro experimentos com diferentes concentrações iniciais de acetaldeído \left[\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CHO}\right]_{0}. As informações relevantes são:
\begin{array}{ccc} \text{Experimento} & \left[\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CHO}\right]_{0}\;(\mathrm{mol\,L^{-1}}) & v_{0}\;(\mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}})\\hline 1 & 0,10 & 9,0\times 10^{-7}\\\\ 2 & 0,20 & 3,6\times 10^{-6}\\\\ 3 & 0,30 & 8,1\times 10^{-6}\\\\ 4 & 0,40 & 1,44\times 10^{-5} \end{array}
O que se pede: determinar a velocidade inicial v_{0} quando \left[\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CHO}\right]_{0}=0,73\;\mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 2

Modelo matemático que vamos usar: supõe-se uma lei de velocidade do tipo
v_{0}=k\,[\mathrm{A}]^{n},
onde [\mathrm{A}] representa \left[\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CHO}\right]_{0}, k é a constante de velocidade e n é a ordem aparente da reação (um número real). Aqui precisamos determinar n e k a partir dos dados, depois calcular v_{0} para [\mathrm{A}]=0,73. Explico como obter n: ao dividir duas velocidades medidas com concentrações diferentes, k cancela:
\frac{v_{0,2}}{v_{0,1}}=\left(\frac{[\mathrm{A}]_{2}}{[\mathrm{A}]_{1}}\right)^{n}.
Tomando logaritmo (ou raciocinando com potências), podemos resolver para n:
n=\frac{\log\!\left(\dfrac{v_{0,2}}{v_{0,1}}\right)}{\log\!\left(\dfrac{[\mathrm{A}]_{2}}{[\mathrm{A}]_{1}}\right)}.

Passo 3

Determinação de n usando os experimentos 1 e 2 (passo a passo):
\frac{v_{0,2}}{v_{0,1}}=\frac{3,6\times 10^{-6}}{9,0\times 10^{-7}}=4,0.
\frac{[\mathrm{A}]_{2}}{[\mathrm{A}]_{1}}=\frac{0,20}{0,10}=2,0.
Logo
4,0=(2,0)^{n}.
Como 4=2^{2}, segue que n=2. (Explicação didática: quando uma duplicação da concentração faz a velocidade quadruplicar, isso indica ordem 2.)

Passo 4

Verificação de n=2 com outros pares (para robustez):
Usando 1 e 3:
\frac{v_{0,3}}{v_{0,1}}=\frac{8,1\times 10^{-6}}{9,0\times 10^{-7}}=9,0,
\frac{[\mathrm{A}]_{3}}{[\mathrm{A}]_{1}}=\frac{0,30}{0,10}=3,0,
9,0=(3,0)^{n}\Rightarrow n=2 \text{ (pois }9=3^{2}\text{).}
Usando 1 e 4:
\frac{v_{0,4}}{v_{0,1}}=\frac{1,44\times 10^{-5}}{9,0\times 10^{-7}}=16,
\frac{[\mathrm{A}]_{4}}{[\mathrm{A}]_{1}}=\frac{0,40}{0,10}=4,0,
16=(4,0)^{n}\Rightarrow n=2 \text{ (pois }16=4^{2}\text{).}
Conclusão: os dados são consistentes com ordem n=2 (reação de segunda ordem em relação a \mathrm{CH}_{3}\mathrm{CHO}).

Passo 5

Determinar a constante k usando a lei encontrada \;v_{0}=k\,[\mathrm{A}]^{2}. Calculamos k a partir do experimento 1:
k=\frac{v_{0}}{[\mathrm{A}]^{2}}=\frac{9,0\times 10^{-7}}{(0,10)^{2}}=\frac{9,0\times 10^{-7}}{0,01}=9,0\times 10^{-5}.
Unidades: para uma reação de segunda ordem (em uma única espécie), k tem unidades \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}. Logo
k=9,0\times 10^{-5}\;\mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 6

Verificação de k com outro experimento (garantia de consistência):
Usando experimento 2:
k=\frac{3,6\times 10^{-6}}{(0,20)^{2}}=\frac{3,6\times 10^{-6}}{0,04}=9,0\times 10^{-5}.
Usando experimento 3:
k=\frac{8,1\times 10^{-6}}{(0,30)^{2}}=\frac{8,1\times 10^{-6}}{0,09}=9,0\times 10^{-5}.
Usando experimento 4:
k=\frac{1,44\times 10^{-5}}{(0,40)^{2}}=\frac{1,44\times 10^{-5}}{0,16}=9,0\times 10^{-5}.
Tudo consistente com k=9,0\times 10^{-5}\;\mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 7

Calcular v_{0} para [\mathrm{A}]=0,73\;\mathrm{mol\,L^{-1}} usando v_{0}=k[\mathrm{A}]^{2}:
[\mathrm{A}]^{2}=(0,73)^{2}=0,5329.
v_{0}=9,0\times 10^{-5}\times 0,5329=4,7961\times 10^{-5}\;\mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos dos dados experimentais (aproximadamente duas casas significativas nas medidas dadas), podemos escrever
v_{0}\approx 4,8\times 10^{-5}\;\mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}.

Resposta

v_{0}=4,8\times 10^{-5}\;\mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}

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