Se \mathbf{A}=2 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{B}=\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}, \mathbf{C}=3 \mathbf{a}_{x}+5 \mathbf{a}_{y}+7 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(c) \frac{2 \mathbf{A}-3 \mathbf{B}}{|\mathbf{C}|};

Passo 1

O enunciado pede calcular \dfrac{2\mathbf{A}-3\mathbf{B}}{|\mathbf{C}|}. Do enunciado temos (peguei estes vetores diretamente):
\mathbf{A}=2\mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-3\mathbf{a}_{z}, \qquad \mathbf{B}=\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}, \qquad \mathbf{C}=3\mathbf{a}_{x}+5\mathbf{a}_{y}+7\mathbf{a}_{z}.
Aqui \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z são os vetores de base canônicos (vetores unitários ortogonais). Vou primeiro calcular o numerador 2\mathbf{A}-3\mathbf{B} e o denominador |\mathbf{C}| separadamente.

Passo 2

Explico e calculo a multiplicação escalar de um vetor: multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar. Assim,
2\mathbf{A}=2\bigl(2\mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-3\mathbf{a}_{z}\bigr).
Aplicando a definição:
2\mathbf{A}=4\mathbf{a}_{x}+2\mathbf{a}_{y}-6\mathbf{a}_{z}.

Passo 3

Faço o mesmo para 3\mathbf{B}:
3\mathbf{B}=3\bigl(\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}\bigr)=0\mathbf{a}_{x}+3\mathbf{a}_{y}-3\mathbf{a}_{z}.
Observação: escrevi explicitamente a componente x como 0\mathbf{a}_x para ficar claro.

Passo 4

Agora subtraio componente a componente para obter 2\mathbf{A}-3\mathbf{B}. Subtração componente a componente significa:
2\mathbf{A}-3\mathbf{B}=(4-0)\mathbf{a}_{x}+(2-3)\mathbf{a}_{y}+(-6-(-3))\mathbf{a}_{z}.
Calculando cada diferença:
2\mathbf{A}-3\mathbf{B}=4\mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{y}-3\mathbf{a}_{z}.
Portanto, os componentes do numerador são 4 (em \mathbf{a}_x), -1 (em \mathbf{a}_y) e -3 (em \mathbf{a}_z).

Passo 5

Agora calculo o módulo (norma) de \mathbf{C}. Lembrete: a norma de um vetor \mathbf{v}=v_x\mathbf{a}_x+v_y\mathbf{a}_y+v_z\mathbf{a}_z é
|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aplicando em \mathbf{C}=3\mathbf{a}_{x}+5\mathbf{a}_{y}+7\mathbf{a}_{z}:
|\mathbf{C}|=\sqrt{3^2+5^2+7^2}=\sqrt{9+25+49}=\sqrt{83}.

Passo 6

Para dividir um vetor por um escalar positivo (aqui |\mathbf{C}|=\sqrt{83}>0) divide-se cada componente do vetor por esse escalar. Temos o numerador com componentes 4,\,-1,\,-3 e o denominador \sqrt{83}. Portanto, para obter \dfrac{2\mathbf{A}-3\mathbf{B}}{|\mathbf{C}|} divide-se cada componente por \sqrt{83}. Esse é o procedimento que será aplicado na resposta final abaixo — mantenha a calma, é só dividir cada número pelo mesmo escalar.

Resposta

\dfrac{4}{\sqrt{83}}\mathbf{a}_{x}-\dfrac{1}{\sqrt{83}}\mathbf{a}_{y}-\dfrac{3}{\sqrt{83}}\mathbf{a}_{z}

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