Se \mathbf{A}=2 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{B}=\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}, \mathbf{C}=3 \mathbf{a}_{x}+5 \mathbf{a}_{y}+7 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(d) \mathrm{A} \cdot \mathrm{C}-|\mathrm{B}|^{2};

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores (peguei estes componentes diretamente do enunciado):
\mathbf{A}=2\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y-3\mathbf{a}_z,\qquad \mathbf{B}=\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_z,\qquad \mathbf{C}=3\mathbf{a}_x+5\mathbf{a}_y+7\mathbf{a}_z.
A pergunta específica é calcular:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}-|\mathbf{B}|^{2}.

Passo 2

Lembrete rápido e a fórmula que vamos usar (explicando tudo devagarinho):
  • Se dois vetores são \mathbf{u}=u_x\mathbf{a}_x+u_y\mathbf{a}_y+u_z\mathbf{a}_z e \mathbf{v}=v_x\mathbf{a}_x+v_y\mathbf{a}_y+v_z\mathbf{a}_z e os vetores de base \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z são ortonormais (ou seja, \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{a}_j=0 para i\neq j e \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{a}_i=1), então o produto escalar é dado por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z.
  • O quadrado da norma de um vetor é o produto escalar do vetor por ele mesmo:
|\mathbf{v}|^{2}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}.
Isso significa que para aplicar as fórmulas basta extrair as componentes numéricas de cada vetor.

Passo 3

Extraindo as componentes dos vetores do enunciado:
\mathbf{A}=(2,\,1,\,-3),\qquad \mathbf{B}=(0,\,1,\,-1),\qquad \mathbf{C}=(3,\,5,\,7).
Agora calculo o produto escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{C} usando a fórmula:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=2\cdot 3 + 1\cdot 5 + (-3)\cdot 7.
Faço as multiplicações e a soma passo a passo:
2\cdot 3=6,\qquad 1\cdot 5=5,\qquad (-3)\cdot 7=-21,
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=6+5-21=-10.

Passo 4

Calculo |\mathbf{B}|^{2} usando que é \mathbf{B}\cdot\mathbf{B}:
|\mathbf{B}|^{2}=0^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=0+1+1=2.

Passo 5

Agora combino os resultados para obter o que o enunciado pede:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}-|\mathbf{B}|^{2} = -10 - 2 = -12.

Resposta

-12

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