Se \mathbf{A}=2 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{B}=\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}, \mathbf{C}=3 \mathbf{a}_{x}+5 \mathbf{a}_{y}+7 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(b) \mathbf{C}-4(\mathbf{A}+\mathbf{B});

Passo 1

O enunciado fornece os vetores (em uma base cartesiana de versores \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z):
\mathbf{A}=2\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y-3\mathbf{a}_z,\qquad \mathbf{B}=\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_z,\qquad \mathbf{C}=3\mathbf{a}_x+5\mathbf{a}_y+7\mathbf{a}_z.
A pergunta pede que se determine:
\mathbf{C}-4(\mathbf{A}+\mathbf{B}).

Passo 2

Regra útil (explicação didática): vetores em coordenadas se somam componente a componente. Se
\mathbf{u}=u_x\mathbf{a}_x+u_y\mathbf{a}_y+u_z\mathbf{a}_z \quad\text{e}\quad \mathbf{v}=v_x\mathbf{a}_x+v_y\mathbf{a}_y+v_z\mathbf{a}_z,
então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x)\mathbf{a}_x+(u_y+v_y)\mathbf{a}_y+(u_z+v_z)\mathbf{a}_z.
Além disso, multiplicar um vetor por um escalar k é multiplicar cada componente por k:
k\mathbf{u}=(k u_x)\mathbf{a}_x+(k u_y)\mathbf{a}_y+(k u_z)\mathbf{a}_z.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro calculo \mathbf{A}+\mathbf{B}. Extraindo componentes dos vetores dados:
\mathbf{A}:(A_x,A_y,A_z)=(2,1,-3),\qquad \mathbf{B}:(B_x,B_y,B_z)=(0,1,-1).
Somando componente a componente:
\mathbf{A}+\mathbf{B}=(2+0)\mathbf{a}_x+(1+1)\mathbf{a}_y+(-3+(-1))\mathbf{a}_z =2\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y-4\mathbf{a}_z.

Passo 4

Agora multiplico por 4:
4(\mathbf{A}+\mathbf{B})=4\bigl(2\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y-4\mathbf{a}_z\bigr) =(8)\mathbf{a}_x+(8)\mathbf{a}_y+(-16)\mathbf{a}_z =8\mathbf{a}_x+8\mathbf{a}_y-16\mathbf{a}_z.

Passo 5

Finalmente calculo \mathbf{C}-4(\mathbf{A}+\mathbf{B}). Componentes de \mathbf{C} são (3,5,7). Subtraindo componente a componente:
\mathbf{C}-4(\mathbf{A}+\mathbf{B}) =(3-8)\mathbf{a}_x+(5-8)\mathbf{a}_y+(7-(-16))\mathbf{a}_z.
Fazendo as contas:
3-8=-5,\qquad 5-8=-3,\qquad 7-(-16)=7+16=23.
Portanto o resultado é
-5\mathbf{a}_x-3\mathbf{a}_y+23\mathbf{a}_z.

Resposta

\,-5\mathbf{a}_x-3\mathbf{a}_y+23\mathbf{a}_z

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