Se \mathbf{A}=2 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{B}=\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}, \mathbf{C}=3 \mathbf{a}_{x}+5 \mathbf{a}_{y}+7 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(a) \mathbf{A}-2 \mathbf{B}+\mathbf{C};

Passo 1

O enunciado dá três vetores em termos dos vetores unitários de base \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z e pede para calcular uma combinação linear deles. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (peguei estes dados do enunciado):
  • \mathbf{A}=2\mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-3\mathbf{a}_{z}.
  • \mathbf{B}=\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}.
  • \mathbf{C}=3\mathbf{a}_{x}+5\mathbf{a}_{y}+7\mathbf{a}_{z}.
O que se pede:
(a) Calcular \mathbf{A}-2\mathbf{B}+\mathbf{C}.

Passo 2

Explicação didática do método (passo a passo, sem pressupor conhecimento):
  • Cada vetor está escrito na forma de componente ao longo dos vetores de base \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z. Isso significa que, por exemplo, \mathbf{A} tem componente 2 na direção \mathbf{a}_x, componente 1 na direção \mathbf{a}_y e componente -3 na direção \mathbf{a}_z.
  • Regra importante: adição e subtração de vetores e multiplicação por escalar são feitas componente a componente. Ou seja, se
\mathbf{u}=u_x\mathbf{a}_x+u_y\mathbf{a}_y+u_z\mathbf{a}_z \quad\text{e}\quad \mathbf{v}=v_x\mathbf{a}_x+v_y\mathbf{a}_y+v_z\mathbf{a}_z,
então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x)\mathbf{a}_x+(u_y+v_y)\mathbf{a}_y+(u_z+v_z)\mathbf{a}_z
e, para escalar \lambda,
\lambda\mathbf{u}=(\lambda u_x)\mathbf{a}_x+(\lambda u_y)\mathbf{a}_y+(\lambda u_z)\mathbf{a}_z.
  • Vou aplicar essas regras em etapas: primeiro calcule \,2\mathbf{B}\,, depois \mathbf{A}-2\mathbf{B}, e por fim some \mathbf{C}.

Passo 3

Calcular 2\mathbf{B}. Multiplicação por escalar atua em cada componente de \mathbf{B}.
\mathbf{B}=\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_z \quad\Rightarrow\quad 2\mathbf{B}=2(\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_z)=2\mathbf{a}_y-2\mathbf{a}_z.
Em termos de componentes: \,2\mathbf{B}=0\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y-2\mathbf{a}_z\,.

Passo 4

Calcular \mathbf{A}-2\mathbf{B}. Subtração componente a componente:
\mathbf{A}=2\mathbf{a}_x+1\mathbf{a}_y-3\mathbf{a}_z, \qquad 2\mathbf{B}=0\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y-2\mathbf{a}_z.
Subtraindo:
\mathbf{A}-2\mathbf{B}=(2-0)\mathbf{a}_x+(1-2)\mathbf{a}_y+(-3-(-2))\mathbf{a}_z.
Agora faço as contas em cada componente:
(2-0)=2,\quad (1-2)=-1,\quad (-3-(-2))=-3+2=-1.
Portanto
\mathbf{A}-2\mathbf{B}=2\mathbf{a}_x-1\mathbf{a}_y-1\mathbf{a}_z.

Passo 5

Somar \mathbf{C} ao resultado. Lembre que
\mathbf{C}=3\mathbf{a}_x+5\mathbf{a}_y+7\mathbf{a}_z.
Agora
\mathbf{A}-2\mathbf{B}+\mathbf{C} =(2\mathbf{a}_x-1\mathbf{a}_y-1\mathbf{a}_z)+(3\mathbf{a}_x+5\mathbf{a}_y+7\mathbf{a}_z).
Somando componente a componente:
(2+3)\mathbf{a}_x+(-1+5)\mathbf{a}_y+(-1+7)\mathbf{a}_z.
Faço as somas:
2+3=5,\quad -1+5=4,\quad -1+7=6.
Logo
\mathbf{A}-2\mathbf{B}+\mathbf{C}=5\mathbf{a}_x+4\mathbf{a}_y+6\mathbf{a}_z.

Resposta

\;5\mathbf{a}_{x}+4\mathbf{a}_{y}+6\mathbf{a}_{z}

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