auestão
A área limitada pela curva dada em coordenadas polares
é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede a área limitada pela curva dada em coordenadas polares
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação polar da curva é
. - A tarefa é calcular a área da região fechada por essa curva (uma curva fechada quando
percorre um certo intervalo).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): a área de uma pequena “fatia” de setor radial entre
e
com raio aproximadamente
tem área aproximada igual à área de um setor circular de raio
, que é
. Portanto, a área total da região delimitada pela curva polar
é dada por
onde
e
são os limites de
que percorrem a curva uma vez. Aqui
é a distância do pólo a um ponto da curva e
é o ângulo polar.
Passo 3
Escolher os limites de integração: normalmente, uma curva do tipo
(com
) é uma cardioide que é traçada uma única vez quando
varia de
a
. Verificação rápida:
e
para todo
em
, então não há “troca de ramo” por valores negativos de
. Logo integramos de
a
.
Passo 4
Montando o integral com a fórmula:
Passo 5
Expandir o integrando passo a passo. Primeiro escrever o quadrado:
Agora usar a identidade
para desenvolver:
Passo 6
Substituir no integral e simplificar com o fator
:
Agora integrar termo a termo:
Somando:
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo: a curva
é uma cardioide e sua área fechada é
. Mandou bem por trazer a questão — com esse passo a passo fica bem tranquilo aplicar na prova!