\mathbf{2 6} auestão

A área limitada pela curva dada em coordenadas polares r=2+2 \cos \theta é:
(A) \pi
(B) 2 \pi
(C) 3 \pi
(D) 5 \pi
(E) 6 \pi

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva dada em coordenadas polares r=2+2\cos\theta.
Informações dadas:
  • A equação polar da curva é r(\theta)=2+2\cos\theta.
  • A tarefa é calcular a área da região fechada por essa curva (uma curva fechada quando \theta percorre um certo intervalo).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): a área de uma pequena “fatia” de setor radial entre \theta e \theta+d\theta com raio aproximadamente r(\theta) tem área aproximada igual à área de um setor circular de raio r, que é \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta. Portanto, a área total da região delimitada pela curva polar r(\theta) é dada por
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^2\,d\theta,
onde \alpha e \beta são os limites de \theta que percorrem a curva uma vez. Aqui r(\theta) é a distância do pólo a um ponto da curva e \theta é o ângulo polar.

Passo 3

Escolher os limites de integração: normalmente, uma curva do tipo r=a+a\cos\theta (com a>0) é uma cardioide que é traçada uma única vez quando \theta varia de 0 a 2\pi. Verificação rápida: \min r=2+2\cos\pi=0 e r\ge 0 para todo \theta em [0,2\pi], então não há “troca de ramo” por valores negativos de r. Logo integramos de 0 a 2\pi.

Passo 4

Montando o integral com a fórmula:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl(2+2\cos\theta\bigr)^2\,d\theta.

Passo 5

Expandir o integrando passo a passo. Primeiro escrever o quadrado:
\bigl(2+2\cos\theta\bigr)^2 = 4\bigl(1+\cos\theta\bigr)^2.
Agora usar a identidade \cos^2\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos2\theta\bigr) para desenvolver:
\begin{aligned} 4\bigl(1+\cos\theta\bigr)^2 &=4\bigl(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)\\\ &=4\Bigl(1+2\cos\theta+\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos2\theta\bigr)\Bigr)\\\ &=4\Bigl(\tfrac{3}{2}+2\cos\theta+\tfrac{1}{2}\cos2\theta\Bigr)\\\ &=6+8\cos\theta+2\cos2\theta. \end{aligned}

Passo 6

Substituir no integral e simplificar com o fator \tfrac{1}{2}:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(6+8\cos\theta+2\cos2\theta\bigr)\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\bigl(3+4\cos\theta+\cos2\theta\bigr)\,d\theta.
Agora integrar termo a termo:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi} 3\,d\theta = 3\cdot(2\pi)=6\pi.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi} 4\cos\theta\,d\theta = 4\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=4(0-0)=0.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \cos2\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\bigl[\sin2\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=0.
Somando:
A = 6\pi + 0 + 0 = 6\pi.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: a curva r=2+2\cos\theta é uma cardioide e sua área fechada é \,6\pi. Mandou bem por trazer a questão — com esse passo a passo fica bem tranquilo aplicar na prova!

Resposta

6\pi

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