) (2,00 pontos) Uma esfera dielétrica carregada com
de diâmetro, possui uma densidade volumétrica de carga
. Determine:
a) (0,50 ponto) a carga da esfera;
b) (
ponto) ) o fluxo elétrico na superfície da esfera;
c) (1,00 ponto) ) o campo elétrico na superfície da esfera.
a) (0,50 ponto) a carga da esfera;
b) (
c) (1,00 ponto) ) o campo elétrico na superfície da esfera.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados:
Diâmetro da esfera:
.
Densidade volumétrica de carga:
.
Perguntas:
(a) Determinar a carga total da esfera.
(b) Determinar o fluxo elétrico através da superfície da esfera.
(c) Determinar o campo elétrico na superfície da esfera.
(a) Determinar a carga total da esfera.
(b) Determinar o fluxo elétrico através da superfície da esfera.
(c) Determinar o campo elétrico na superfície da esfera.
Passo 2
Primeiro passo prático: achar o raio da esfera a partir do diâmetro. O raio
é metade do diâmetro, então
Explicação curta: o diâmetro mede a distância total passando pelo centro; metade disso é o raio, que usaremos nas fórmulas de volume, área e campo.
Passo 3
Calcular o volume da esfera. A fórmula do volume de uma esfera é
onde
é o volume em metros cúbicos e
é o raio em metros. Aqui:
Logo
Calculando numericamente,
Comentário didático: estou mostrando o passo a passo (potência, multiplicar por
, depois multiplicar por
) para você poder repetir na prova sem pular etapas.
Passo 4
Calcular a carga total
usando que a densidade volumétrica
é carga por unidade de volume. Para densidade uniforme:
Substituindo os valores:
Interpretação: multiplicamos quantos coulombs existem por metro cúbico pelo número de metros cúbicos da esfera — simples! Para facilitar na prova, você pode arredondar como
.
Passo 5
Explicar e usar a relação entre fluxo elétrico e carga (passo conceitual necessário para (b)). A lei que liga fluxo total
através da superfície fechada e a carga interna é
onde
é a permissividade do vácuo. Aqui
é a carga total da esfera (porque toda a carga está dentro da superfície). O valor numérico de
é aproximadamente
Essa fórmula é a ferramenta que transforma carga em fluxo — na prova, memorizá-la é muito útil.
Passo 6
Calcular o fluxo usando a fórmula do Passo 5:
Fazendo a divisão:
Observação prática: o fluxo tem unidade
(às vezes escrito apenas
); é a unidade convencional para fluxo elétrico.
Passo 7
Agora o campo elétrico na superfície (item (c)). Para uma distribuição de carga uniformemente distribuída numa esfera, o campo elétrico fora e na superfície se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro (resultado padrão que costuma cair em provas). Assim, o campo elétrico na superfície de raio
é dado por
Aqui cada símbolo significa:
é o campo elétrico em
,
é a permissividade do vácuo (valor dado acima),
é a carga total (calculada no Passo 4),
é o raio da esfera (Passo 2).
Passo 8
Substituir números na fórmula do campo:
Usando a constante
(memorizável como
em contas rápidas), temos
Fazendo as contas:
Arredondando de forma prática para a prova:
.
Passo 9
Verificação rápida (boa prática): o fluxo também pode ser escrito como
, onde
é a área da superfície
. Se calcularmos
usando o
encontrado, obtemos numericamente o mesmo valor do Passo 6 — isso confirma que não houve erro algébrico.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)