\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} ) (2,00 pontos) Uma esfera dielétrica carregada com 1,60 \mathrm{~m} de diâmetro, possui uma densidade volumétrica de carga 8 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. Determine:
a) (0,50 ponto) a carga da esfera;
b) ( \mathbf{0 , 5 0} ponto) ) o fluxo elétrico na superfície da esfera;
c) (1,00 ponto) ) o campo elétrico na superfície da esfera.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados:


Diâmetro da esfera: 1{,}60\\ \mathrm{m}.
Densidade volumétrica de carga: \rho = 8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3.
Perguntas:


(a) Determinar a carga total da esfera.
(b) Determinar o fluxo elétrico através da superfície da esfera.
(c) Determinar o campo elétrico na superfície da esfera.

Passo 2

Primeiro passo prático: achar o raio da esfera a partir do diâmetro. O raio R é metade do diâmetro, então
R = \frac{1{,}60}{2} = 0{,}80\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: o diâmetro mede a distância total passando pelo centro; metade disso é o raio, que usaremos nas fórmulas de volume, área e campo.

Passo 3

Calcular o volume da esfera. A fórmula do volume de uma esfera é
V=\frac{4}{3}\pi R^{3},
onde V é o volume em metros cúbicos e R é o raio em metros. Aqui:
R^{3}=(0{,}80)^{3}=0{,}512\\ \mathrm{m^{3}}.
Logo
V=\frac{4}{3}\pi\cdot0{,}512=\frac{4\cdot0{,}512}{3}\,\pi=0{,}682666\ldots\pi\\ \mathrm{m^{3}}.
Calculando numericamente,
V\approx2{,}14466\\ \mathrm{m^{3}}.
Comentário didático: estou mostrando o passo a passo (potência, multiplicar por 4/3, depois multiplicar por \pi) para você poder repetir na prova sem pular etapas.

Passo 4

Calcular a carga total \,Q usando que a densidade volumétrica \rho é carga por unidade de volume. Para densidade uniforme:
Q=\rho\,V.
Substituindo os valores:
Q = \left(8\times10^{-6}\right)\cdot 2{,}14466 \\ \mathrm{C}
Q \approx 1{,}71573\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
Interpretação: multiplicamos quantos coulombs existem por metro cúbico pelo número de metros cúbicos da esfera — simples! Para facilitar na prova, você pode arredondar como \,Q\approx1{,}72\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Explicar e usar a relação entre fluxo elétrico e carga (passo conceitual necessário para (b)). A lei que liga fluxo total \Phi através da superfície fechada e a carga interna é
\Phi=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Aqui Q_{\text{enc}}=Q é a carga total da esfera (porque toda a carga está dentro da superfície). O valor numérico de \varepsilon_{0} é aproximadamente
\varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})}.
Essa fórmula é a ferramenta que transforma carga em fluxo — na prova, memorizá-la é muito útil.

Passo 6

Calcular o fluxo usando a fórmula do Passo 5:
\Phi=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}=\frac{1{,}71573\times10^{-5}}{8{,}854187817\times10^{-12}}.
Fazendo a divisão:
\Phi \approx 1{,}937999\times10^{6}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C}.
Observação prática: o fluxo tem unidade \mathrm{N\;m^{2}/C} (às vezes escrito apenas \mathrm{m^{2}\,N/C}); é a unidade convencional para fluxo elétrico.

Passo 7

Agora o campo elétrico na superfície (item (c)). Para uma distribuição de carga uniformemente distribuída numa esfera, o campo elétrico fora e na superfície se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro (resultado padrão que costuma cair em provas). Assim, o campo elétrico na superfície de raio R é dado por
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{R^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
E é o campo elétrico em \mathrm{N/C},
\varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (valor dado acima),
Q é a carga total (calculada no Passo 4),
R é o raio da esfera (Passo 2).

Passo 8

Substituir números na fórmula do campo:
R^{2}=(0{,}80)^{2}=0{,}64\\ \mathrm{m^{2}}.
Usando a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx8{,}987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} (memorizável como 9{,}0\times10^{9} em contas rápidas), temos
E = k\frac{Q}{R^{2}} = 8{,}987551792\times10^{9}\cdot\frac{1{,}71573\times10^{-5}}{0{,}64}.
Fazendo as contas:
E \approx 2{,}40910\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando de forma prática para a prova: E\approx2{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 9

Verificação rápida (boa prática): o fluxo também pode ser escrito como \Phi = E\cdot A, onde A é a área da superfície A=4\pi R^{2}. Se calcularmos E\cdot4\pi R^{2} usando o E encontrado, obtemos numericamente o mesmo valor do Passo 6 — isso confirma que não houve erro algébrico.

Resposta

(a) Q \approx 1{,}72\times10^{-5}\\ \mathrm{C}
(b) \Phi \approx 1{,}938\times10^{6}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}
(c) E \approx 2{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}

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