Suponha que a água no alto das Cataratas do Niágara possua uma velocidade horizontal com módulo igual a 2,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s} imediatamente antes de despencar na beira da catarata. A que distância vertical abaixo da beira o vetor velocidade da água aponta para baixo fazendo um ângulo de 75^{\circ} com a horizontal?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
O enunciado diz que imediatamente antes da água cair da beira da catarata ela tem uma velocidade horizontal de módulo \,2,7\\ \mathrm{m/s}. Pergunta: a que distância vertical abaixo da beira o vetor velocidade da água passa a formar um ângulo de \,75^\circ com a horizontal?
Informações dadas (resumindo):
\bullet velocidade horizontal inicial: \,v_x=2,7\\ \mathrm{m/s}.
\bullet ao sair da beira, a componente vertical inicial é nula: \,v_{y0}=0.
\bullet queremos a distância vertical abaixo da beira (chamei de \,y) onde a direção da velocidade faz \,75^\circ com a horizontal.
\bullet aceleração vertical é a gravidade: \,g (vamos usar \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}).
Nada mais é pedido — só essa distância vertical.

Passo 2

Como descrever a velocidade da água enquanto ela cai? (aula rápida e prática)
Quando a água passa da borda, ela tem só velocidade horizontal \,v_x constante (não há força horizontal significativa), e a componente vertical da velocidade cresce com o tempo devido à gravidade. Em notação simples:
\bullet componente horizontal: \,v_x= constante.
\bullet componente vertical em instante t: \,v_y=g\,t (no sentido para baixo).
O ângulo \theta que o vetor velocidade faz com a horizontal satisfaz a relação trigonométrica básica entre componentes:
\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}.
Isso é só a definição de \tan num triângulo retângulo: cateto oposto sobre cateto adjacente. Aqui o cateto oposto é a componente vertical da velocidade e o adjacente é a componente horizontal.

Passo 3

Expressar a condição do enunciado usando a equação do passo anterior.
Queremos \theta=75^\circ. Então
\tan 75^\circ=\frac{v_y}{v_x}.
Isolando \,v_y obtemos
v_y = v_x\,\tan 75^\circ.
Isto nos dá a componente vertical da velocidade no instante em que a direção da velocidade faz \,75^\circ com a horizontal.
Pequeno truque útil: \tan 75^\circ pode ser avaliado exatamente usando identidade de soma de ângulos: 75^\circ=45^\circ+30^\circ. Assim
\tan 75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ)=\frac{\tan45^\circ+\tan30^\circ}{1-\tan45^\circ\tan30^\circ} =\frac{1+\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}}=2+\sqrt{3}.
Então \tan 75^\circ=2+\sqrt{3}\approx 3{,}73205. Usamos vírgula para decimais conforme você prefere.

Passo 4

Agora relacionar essa componente vertical \,v_y com a distância vertical \,y. Há duas maneiras equivalentes (vou mostrar as duas, porque são úteis em prova):
Método A (usando tempo):
\,v_y=g\,t e a posição vertical é \,y=\tfrac{1}{2}g t^2. Eliminando t: t=\dfrac{v_y}{g}, então
y=\frac{1}{2}g\left(\frac{v_y}{g}\right)^2=\frac{v_y^2}{2g}.
Método B (usando relação direta de cinemática):
Usa-se a equação v_y^2 = v_{y0}^2 + 2 g y. Como \,v_{y0}=0, temos v_y^2=2 g y, então
y=\frac{v_y^2}{2g}.
Ambos dão a mesma expressão, que é bem prática: se você conhece a velocidade vertical num instante, pode achar a distância caída por y=\dfrac{v_y^2}{2g}.

Passo 5

Substituir v_y=v_x\tan75^\circ na fórmula de y. Assim
y=\frac{(v_x\tan75^\circ)^2}{2g}=\frac{v_x^2\,\tan^2 75^\circ}{2g}.
Agora colocamos os números: \,v_x=2{,}7\\ \mathrm{m/s}, \tan75^\circ=2+\sqrt{3} e \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Calculando passo a passo (sem pular contas):
\,v_x^2=(2{,}7)^2=7{,}29.
\,\tan^2 75^\circ=(2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}\approx 13{,}92820323.
Multiplicando: v_x^2\,\tan^2 75^\circ \approx 7{,}29\times 13{,}92820323 \approx 101{,}5366015.
Denominador: 2g=2\times 9{,}8=19{,}6.
Portanto
y\approx\frac{101{,}5366015}{19{,}6}\approx 5{,}18156\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento: o valor calculado é aproximadamente \,5{,}18\\ \mathrm{m}. Isso significa que cerca de 5 metros e 18 centímetros abaixo da beira a direção da velocidade da água já estará inclinada de 75^\circ em relação à horizontal. Força de prova: se você preferir usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} dá praticamente o mesmo resultado (diferença insignificante na 3ª casa decimal).

Resposta

\,5,18\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados