Suponha que a água no alto das Cataratas do Niágara possua uma velocidade horizontal com módulo igual a
imediatamente antes de despencar na beira da catarata. A que distância vertical abaixo da beira o vetor velocidade da água aponta para baixo fazendo um ângulo de
com a horizontal?
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
O enunciado diz que imediatamente antes da água cair da beira da catarata ela tem uma velocidade horizontal de módulo . Pergunta: a que distância vertical abaixo da beira o vetor velocidade da água passa a formar um ângulo de
com a horizontal?
O enunciado diz que imediatamente antes da água cair da beira da catarata ela tem uma velocidade horizontal de módulo
Informações dadas (resumindo):
velocidade horizontal inicial:
.
ao sair da beira, a componente vertical inicial é nula:
.
queremos a distância vertical abaixo da beira (chamei de
) onde a direção da velocidade faz
com a horizontal.
aceleração vertical é a gravidade:
(vamos usar
).
Nada mais é pedido — só essa distância vertical.
Passo 2
Como descrever a velocidade da água enquanto ela cai? (aula rápida e prática)
Quando a água passa da borda, ela tem só velocidade horizontal constante (não há força horizontal significativa), e a componente vertical da velocidade cresce com o tempo devido à gravidade. Em notação simples:
componente horizontal:
constante.
componente vertical em instante
:
(no sentido para baixo).
Quando a água passa da borda, ela tem só velocidade horizontal
O ângulo
que o vetor velocidade faz com a horizontal satisfaz a relação trigonométrica básica entre componentes:
Isso é só a definição de
num triângulo retângulo: cateto oposto sobre cateto adjacente. Aqui o cateto oposto é a componente vertical da velocidade e o adjacente é a componente horizontal.
Passo 3
Expressar a condição do enunciado usando a equação do passo anterior.
Queremos . Então
Queremos
Isolando
obtemos
Isto nos dá a componente vertical da velocidade no instante em que a direção da velocidade faz
com a horizontal.
Pequeno truque útil:
pode ser avaliado exatamente usando identidade de soma de ângulos:
. Assim
Então
. Usamos vírgula para decimais conforme você prefere.
Passo 4
Agora relacionar essa componente vertical
com a distância vertical
. Há duas maneiras equivalentes (vou mostrar as duas, porque são úteis em prova):
Método A (usando tempo):
e a posição vertical é
. Eliminando
:
, então
Método B (usando relação direta de cinemática):
Usa-se a equação . Como
, temos
, então
Usa-se a equação
Ambos dão a mesma expressão, que é bem prática: se você conhece a velocidade vertical num instante, pode achar a distância caída por
.
Passo 5
Substituir
na fórmula de
. Assim
Agora colocamos os números:
,
e
. Calculando passo a passo (sem pular contas):
.
Multiplicando:
Denominador:
Portanto
Multiplicando:
Denominador:
Portanto
Passo 6
Interpretação final e arredondamento: o valor calculado é aproximadamente
. Isso significa que cerca de 5 metros e 18 centímetros abaixo da beira a direção da velocidade da água já estará inclinada de
em relação à horizontal. Força de prova: se você preferir usar
dá praticamente o mesmo resultado (diferença insignificante na 3ª casa decimal).