\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} ) (2,50 pontos) O momento magnético de uma espira é dado pelo vetor: \vec{\mu}=2 \hat{\imath}+3 \hat{k}, onde todas as unidades são do SI. Esta espira está imersa em um campo magnético uniforme, cujo vetor campo magnético é dado por: \vec{B}=\hat{\imath}+\hat{j}+2 \hat{k}, onde todas as unidades são do SI. Determine:
a) (1,00 ponto) O torque resultante sobre a espira em função dos vetores unitários.
b) (0,50 ponto) O módulo do torque resultante.
c) ( 0,50 ponto) O módulo do momento magnético.
d) (0,50 ponto)A corrente elétrica na espira com área igual a A=\sqrt{6,5} \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes vetores (tirei diretamente do texto do problema):
  • Momento magnético: \vec{\mu}=2\hat{\imath}+3\hat{k} (unidades do SI).
  • Campo magnético uniforme: \vec{B}=\hat{\imath}+\hat{\jmath}+2\hat{k} (unidades do SI).
  • Área da espira: A=\sqrt{6,5}\\ \mathrm{m}^2.
O que nos pedem:
a) O torque resultante \vec{\tau} sobre a espira em função dos vetores unitários.
b) O módulo do torque resultante |\vec{\tau}|.
c) O módulo do momento magnético |\vec{\mu}|.
d) A corrente elétrica I na espira (sabendo A=\sqrt{6,5}\\ \mathrm{m}^2).
Vou resolver passo a passo cada item, explicando bem as fórmulas e cada conta — sem pular etapas.

Passo 2

Fórmula e explicação do conceito necessário para (a):
O torque magnético sobre uma espira é dado pelo produto vetorial entre o momento magnético e o campo:
\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}.
Explicando o produto vetorial de forma prática: se \vec{\mu}=(\mu_x,\mu_y,\mu_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então o produto vetorial tem componentes
\vec{\mu}\times\vec{B}= \bigl(\mu_y B_z-\mu_z B_y\bigr)\hat{\imath} -\bigl(\mu_x B_z-\mu_z B_x\bigr)\hat{\jmath} +\bigl(\mu_x B_y-\mu_y B_x\bigr)\hat{k}.
Outra forma prática é usar o determinante com os vetores unitários:
\vec{\mu}\times\vec{B}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ \mu_x & \mu_y & \mu_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Aqui \mu_x,\mu_y,\mu_z e B_x,B_y,B_z são as componentes dos vetores (sempre escrevendo-as em TeX).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: primeiro identifique as componentes (retiradas do dado do enunciado):
\mu_x=2,\qquad \mu_y=0,\qquad \mu_z=3,
B_x=1,\qquad B_y=1,\qquad B_z=2.
Agora calcule cada componente do produto vetorial usando a expressão do Passo 2.
Componente na direção \hat{\imath}:
\tau_x=\mu_y B_z-\mu_z B_y = 0\cdot 2 - 3\cdot 1 = 0-3 = -3.
Componente na direção \hat{\jmath}:
\tau_y=-(\mu_x B_z-\mu_z B_x) = -\bigl(2\cdot 2 - 3\cdot 1\bigr)=-(4-3)= -1.
(Observe o sinal negativo próprio da fórmula para a componente \hat{\jmath}.)
Componente na direção \hat{k}:
\tau_z=\mu_x B_y-\mu_y B_x = 2\cdot 1 - 0\cdot 1 = 2-0 = 2.

Passo 4

Juntando as componentes obtemos o vetor torque:
\vec{\tau}=-3\hat{\imath}-\hat{\jmath}+2\hat{k}\quad\text{(unidade: N·m)}.
Um comentário amigo: o sinal negativo nas componentes \hat{\imath} e \hat{\jmath} significa que a tendência de rotação é no sentido oposto dessas direções.

Passo 5

Agora (b) — módulo do torque. Regra: o módulo de um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aplicando a \vec{\tau}=(-3,-1,2):
|\vec{\tau}|=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}.
Portanto o módulo do torque é \sqrt{14} (unidade N·m). Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{14}\approx3{,}7417, mas a forma exata \sqrt{14} é perfeitamente aceitável.

Passo 6

Agora (c) — módulo do momento magnético \vec{\mu}. Mesmo procedimento de módulo:
|\vec{\mu}|=\sqrt{\mu_x^2+\mu_y^2+\mu_z^2}=\sqrt{2^2+0^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Logo |\vec{\mu}|=\sqrt{13} (unidade: A·m^2).

Passo 7

Agora (d) — encontrar a corrente I. Conceito físico: para uma espira plana com corrente I e área A, o momento magnético vetorial vale
\vec{\mu}=I\,A\,\hat{n},
onde \hat{n} é o vetor unitário normal à espira. Daí o módulo satisfaz
|\vec{\mu}|=I\,A.
Portanto
I=\frac{|\vec{\mu}|}{A}.
Substituindo os valores que já temos (pegando |\vec{\mu}|=\sqrt{13} do Passo 6 e A=\sqrt{6,5}\\ \mathrm{m}^2 dado no enunciado):
I=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6,5}}.
Simplificando o radicando: 6{,}5=\dfrac{13}{2}, então
I=\sqrt{\frac{13}{6{,}5}}=\sqrt{\frac{13}{13/2}}=\sqrt{2} .
Portanto a corrente é I=\sqrt{2}\\ \mathrm{A} (aproximadamente 1{,}4142\\ \mathrm{A}).

Resposta

a) \vec{\tau}=-3\hat{\imath}-\hat{\jmath}+2\hat{k} \
b) |\vec{\tau}|=\sqrt{14}\\ \text{N·m} \
c) |\vec{\mu}|=\sqrt{13}\\ \text{A·m}^2 \
d) I=\sqrt{2}\\ \text{A}

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