\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} ) (2,50 pontos) O momento magnético de uma espira é dado pelo vetor: \vec{\mu}=2 \hat{\imath}+3 \hat{k}, onde todas as unidades são do SI. Esta espira está imersa em um campo magnético uniforme, cujo vetor campo magnético é dado por: \vec{B}=\hat{\imath}+\hat{j}+2 \hat{k}, onde todas as unidades são do SI. Determine:
a) (1,00 ponto) O torque resultante sobre a espira em função dos vetores unitários.
b) (0,50 ponto) O módulo do torque resultante.
c) ( 0,50 ponto) O módulo do momento magnético.
d) (0,50 ponto)A corrente elétrica na espira com área igual a A=\sqrt{6,5} \mathrm{~m}^{2}
Passo 1
O enunciado dá os seguintes vetores (tirei diretamente do texto do problema):
Momento magnético: \vec{\mu}=2\hat{\imath}+3\hat{k} (unidades do SI).
Campo magnético uniforme: \vec{B}=\hat{\imath}+\hat{\jmath}+2\hat{k} (unidades do SI).
Área da espira: A=\sqrt{6,5}\\ \mathrm{m}^2.
O que nos pedem:
a) O torque resultante \vec{\tau} sobre a espira em função dos vetores unitários.
b) O módulo do torque resultante |\vec{\tau}|.
c) O módulo do momento magnético |\vec{\mu}|.
d) A corrente elétrica I na espira (sabendo A=\sqrt{6,5}\\ \mathrm{m}^2).
Vou resolver passo a passo cada item, explicando bem as fórmulas e cada conta — sem pular etapas.
Passo 2
Fórmula e explicação do conceito necessário para (a):
O torque magnético sobre uma espira é dado pelo produto vetorial entre o momento magnético e o campo:
\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}.
Explicando o produto vetorial de forma prática: se \vec{\mu}=(\mu_x,\mu_y,\mu_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então o produto vetorial tem componentes
Um comentário amigo: o sinal negativo nas componentes \hat{\imath} e \hat{\jmath} significa que a tendência de rotação é no sentido oposto dessas direções.
Passo 5
Agora (b) — módulo do torque. Regra: o módulo de um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é
Portanto o módulo do torque é \sqrt{14} (unidade N·m). Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{14}\approx3{,}7417, mas a forma exata \sqrt{14} é perfeitamente aceitável.
Passo 6
Agora (c) — módulo do momento magnético \vec{\mu}. Mesmo procedimento de módulo:
Portanto a corrente é I=\sqrt{2}\\ \mathrm{A} (aproximadamente 1{,}4142\\ \mathrm{A}).
Resposta
a) \vec{\tau}=-3\hat{\imath}-\hat{\jmath}+2\hat{k} \
b) |\vec{\tau}|=\sqrt{14}\\ \text{N·m} \
c) |\vec{\mu}|=\sqrt{13}\\ \text{A·m}^2 \
d) I=\sqrt{2}\\ \text{A}