\mathbf{3}^{\boldsymbol{\circ}} ) ( \mathbf{2 , 5 0} pontos) A corrente em um circuito RL aumenta para um quarto de seu valor final em 4 s . Sendo R=5 \Omega \mathrm{e} \mathcal{E}=20 \mathrm{~V}, determine para t=0,2 s;
a) (1,00 ponto) A potência fornecida pela bateria.
b) (1,00 ponto) A d.d.p no resistor e no indutor.
c) ( \mathbf{0 , 5 0} ponto) A energia armazenada no indutor.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei tudo do enunciado):
R=5\\ \Omega.
\mathcal{E}=20\\ \text{V}.
A corrente atinge um quarto do seu valor final em t=4\\ \text{s}; isto é, i(4)=\tfrac{1}{4}I_{\infty}.
Pede os valores em t=0{,}2\\ \text{s}:
a) a potência fornecida pela bateria;
b) a d.d.p. (tensão) no resistor e no indutor;
c) a energia armazenada no indutor.
Passo 2
Modelo físico e fórmula do regime transiente do circuito RL (explicação didática).
Ao fechar a chave num circuito série com fonte constante, resistor R e indutor L, a equação de circuito (Lei de Kirchhoff) é
\mathcal{E}=Ri+L\frac{di}{dt}.
Aqui:
\mathcal{E} é a fem da bateria (em volts),
i(t) é a corrente instante a instante (em ampères),
R é a resistência (em ohms),
L é a indutância (em henries),
\tfrac{di}{dt} é a derivada temporal da corrente (em A/s).
Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para condição inicial i(0)=0 (corrente nula antes de fechar), a solução é a conhecida exponencial de carga:
são, respectivamente, a corrente final estacionária (quando t\to\infty) e a constante de tempo do circuito. Explicando: \tau determina quão rápido a corrente se aproxima de I_{\infty}; maiores \tau → resposta mais lenta.
Passo 3
Usar a informação i(4)=\tfrac{1}{4}I_{\infty} para determinar \tau e então L.
Substituindo t=4 em i(t)=I_{\infty}(1-e^{-t/\tau}):
Observação física rápida: essa potência é distribuída entre perda resistiva e energia que está sendo acumulada no campo magnético do indutor (taxa de variação da energia).
Passo 6
(b) D.d.p. no resistor e no indutor em t=0{,}2\\ \text{s}.