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( 2,5 pontos) Um campo elétrico em uma região do espaço é expresso como
(N/C)
, onde
é expresso em metros. Determine
a) (1,50 ponto) a diferença de potencial entre os as coordenadas
e
.
b) (1,50 ponto) o potencial elétrico para um ponto qualquer no espaço, levando em conta que o potencial em
é igual a
.
a) (1,50 ponto) a diferença de potencial entre os as coordenadas
b) (1,50 ponto) o potencial elétrico para um ponto qualquer no espaço, levando em conta que o potencial em
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico
(N/C), com
em metros, e pede duas coisas:
- (a) a diferença de potencial entre as coordenadas
e ; - (b) a expressão do potencial elétrico
para um ponto qualquer, sabendo que .
Informações relevantes dadas:
- Campo só tem componente na direção
: com . - Unidade de
: N/C; unidade de : m; unidade buscada para : V (volts). - Ponto de referência para o potencial:
.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida e prática):
- O campo elétrico e o potencial estão relacionados por
. Isso significa, em palavras simples, que o campo aponta na direção de queda do potencial e que a derivada espacial do potencial dá (menos) o campo. - Para diferença de potencial entre dois pontos
e usa-se a integral de linha
- No nosso caso o campo é paralelo ao eixo
e depende só de . Se conectamos dois pontos movendo-se apenas ao longo de , então e o produto escalar fica . - Assim, para pontos sobre o eixo
,
Essa fórmula é tudo o que precisamos para (a) e (b).
Passo 3
Resolvendo (a) passo a passo:
- Aplicando a fórmula com
e ,
- Calcule a integral. Lembrando que
, temos
- Faça as contas sem calculadora:
, , então . Multiplicando,
- Colocando o sinal negativo (pela relação entre
e ),
Interpretação: o potencial em
é
menor que em
.
Passo 4
Resolvendo (b) passo a passo — achar
com referência
:
- Use a mesma fórmula com
(ponto de referência) e (ponto genérico):
(Usei
como variável de integração para não confundir com o limite
.)
- Calcule a integral:
- Aplicando o sinal negativo,
- Como
, obtemos
- Simplificando a expressão (opção para facilitar avaliação):
- Verificação rápida (boa prática): para
tem-se , compatível com a condição dada.
Passo 5
Checagem numérica relacionada à (a) usando a expressão encontrada:
- Pelo resultado de (b),
. - E
. - Diferença
, que confirma o item (a). Tudo consistente.