2 { }^{\text {a) }} ( 2,5 pontos) Um campo elétrico em uma região do espaço é expresso como \vec{E}(x, y, z)=2,0 x^{3} (N/C) \vec{\imath}, onde x é expresso em metros. Determine
a) (1,50 ponto) a diferença de potencial entre os as coordenadas x=1,0 \mathrm{~m} e x=2,0 \mathrm{~m}.
b) (1,50 ponto) o potencial elétrico para um ponto qualquer no espaço, levando em conta que o potencial em x= 10,0 \mathrm{~m} é igual a 20,0 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\vec{E}(x,y,z)=2,0\,x^{3}\,\hat{\imath} (N/C), com x em metros, e pede duas coisas:
  • (a) a diferença de potencial entre as coordenadas x=1,0\\ \mathrm{m} e x=2,0\\ \mathrm{m};
  • (b) a expressão do potencial elétrico V(x) para um ponto qualquer, sabendo que V(10,0\\ \mathrm{m})=20,0\\ \mathrm{V}.
Informações relevantes dadas:
  • Campo só tem componente na direção x: \vec{E}=E_x(x)\,\hat{\imath} com E_x(x)=2,0\,x^{3}.
  • Unidade de E: N/C; unidade de x: m; unidade buscada para V: V (volts).
  • Ponto de referência para o potencial: V(10{,}0\\ \mathrm{m})=20{,}0\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida e prática):
  • O campo elétrico e o potencial estão relacionados por \vec{E}=-\nabla V. Isso significa, em palavras simples, que o campo aponta na direção de queda do potencial e que a derivada espacial do potencial dá (menos) o campo.
  • Para diferença de potencial entre dois pontos A e B usa-se a integral de linha
V(B)-V(A)=-\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
  • No nosso caso o campo é paralelo ao eixo x e depende só de x. Se conectamos dois pontos movendo-se apenas ao longo de x, então d\vec{\ell}=dx\,\hat{\imath} e o produto escalar fica \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=E_x(x)\,dx.
  • Assim, para pontos sobre o eixo x,
V(x_2)-V(x_1)=-\int_{x_1}^{x_2} E_x(x)\,dx.
Essa fórmula é tudo o que precisamos para (a) e (b).

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo:
  • Aplicando a fórmula com x_1=1{,}0\\ \mathrm{m} e x_2=2{,}0\\ \mathrm{m},
V(2{,}0)-V(1{,}0)=-\int_{1}^{2} E_x(x)\,dx=-\int_{1}^{2} 2{,}0\,x^{3}\,dx.
  • Calcule a integral. Lembrando que \int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}, temos
\int_{1}^{2} 2{,}0\,x^{3}\,dx=2{,}0\cdot\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2}=2{,}0\cdot\left(\dfrac{2^{4}-1^{4}}{4}\right).
  • Faça as contas sem calculadora: 2^{4}=16, 1^{4}=1, então 16-1=15. Multiplicando,
2{,}0\cdot\dfrac{15}{4}=2{,}0\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{30}{4}=7{,}5.
  • Colocando o sinal negativo (pela relação entre E e V),
V(2{,}0)-V(1{,}0)=-7{,}5\\ \mathrm{V}.
Interpretação: o potencial em x=2{,}0\\ \mathrm{m} é 7{,}5\\ \mathrm{V} menor que em x=1{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Resolvendo (b) passo a passo — achar V(x) com referência V(10{,}0)=20{,}0\\ \mathrm{V}:
  • Use a mesma fórmula com x_1=10{,}0 (ponto de referência) e x_2=x (ponto genérico):
V(x)-V(10)= -\int_{10}^{x} 2{,}0\,u^{3}\,du.
(Usei u como variável de integração para não confundir com o limite x.)
  • Calcule a integral:
\int_{10}^{x} 2{,}0\,u^{3}\,du = 2{,}0\cdot\left[\dfrac{u^{4}}{4}\right]_{10}^{x} = 0{,}5\,(x^{4}-10^{4}).
  • Aplicando o sinal negativo,
V(x)-V(10) = -0{,}5\,(x^{4}-10^{4}).
  • Como V(10)=20{,}0\\ \mathrm{V}, obtemos
V(x)=20{,}0 - 0{,}5\,(x^{4}-10^{4}).
  • Simplificando a expressão (opção para facilitar avaliação):
V(x)=20{,}0 + 0{,}5\cdot10^{4} - 0{,}5\,x^{4}=5020 - 0{,}5\,x^{4}\quad(\mathrm{V}).
  • Verificação rápida (boa prática): para x=10 tem-se V(10)=5020-0{,}5\cdot10^{4}=5020-5000=20{,}0\\ \mathrm{V}, compatível com a condição dada.

Passo 5

Checagem numérica relacionada à (a) usando a expressão encontrada:
  • Pelo resultado de (b), V(1)=5020-0{,}5\cdot1^{4}=5020-0{,}5=5019{,}5\\ \mathrm{V}.
  • E V(2)=5020-0{,}5\cdot2^{4}=5020-0{,}5\cdot16=5020-8=5012\\ \mathrm{V}.
  • Diferença V(2)-V(1)=5012-5019{,}5=-7{,}5\\ \mathrm{V}, que confirma o item (a). Tudo consistente.

Resposta

\Delta V=V(2{,}0)-V(1{,}0)=-7{,}5\\ \mathrm{V}
V(x)=5020-0{,}5\,x^{4}\\ \mathrm{V}

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