Uma barra metálica de comprimento L= 4,0 \mathrm{~cm} e massa m=1,0 \mathrm{~g} pode deslizar sobre dois suportes verticais sem atrito, conforme a figura ao lado. O conjunto está imerso em um campo magnético uniforme \vec{B} (com módulo B=1,0 \mathrm{~T} ) que entra ortogonalmente no plano vertical formado pela barra e pelos suportes. Uma fonte de corrente constante fornece uma corrente \mathbf{i} ao circuito fechado pela barra. Considere a gravidade g=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
Determine a corrente mínima para manter a barra em repouso.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a corrente mínima para manter a barra em repouso.
Informações dadas (pego do enunciado e da figura):
  • Comprimento da barra: L=4{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Massa da barra: m=1{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Módulo do campo magnético: B=1{,}0\\ \mathrm{T}.
  • Gravidade: g=10{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A figura mostra a direção da corrente no circuito (seta na barra: da esquerda para a direita) e o campo indicado por cruzes (campo entrando no plano).
Observação importante para começar a raciocinar: a barra pode deslizar sem atrito sobre os suportes, portanto só há peso para baixo e a força magnética vertical para cima (se a corrente tiver a direção apropriada).

Passo 2

Qual é a força magnética sobre uma barra percorrida por corrente?
A lei macroscópica é
\vec{F}=i\,\vec{L}\times\vec{B},
onde:
  • i é a corrente que percorre a barra (em ampère),
  • \vec{L} é o vetor comprimento da barra cujo sentido é o mesmo da corrente na barra (magnitude |\vec{L}|=L),
  • \vec{B} é o vetor campo magnético.
A magnitude dessa força é
F = i\,L\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{L} e \vec{B}. Aqui vamos usar essa fórmula e explicar tudo devagar:
  • Se \vec{L} for perpendicular a \vec{B}, então \sin\theta=1 e a força vale F=iLB.
  • A direção de \vec{F} é dada pela regra da mão direita (ou \vec{L}\times\vec{B}): dedo indicador na direção de \vec{L} (corrente na barra), dedo médio na direção de \vec{B}, o polegar aponta para \vec{F}.
Pelo enunciado/figura: o campo está entrando no plano (cruzes) e a corrente na barra vai da esquerda para a direita. Esses vetores são perpendiculares, logo \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Aplicando a regra: corrente para a direita e B para dentro do plano geram uma força para cima sobre a barra — exatamente o que pode sustentar o peso.

Passo 3

Condição de equilíbrio vertical (a barra em repouso): a força magnética para cima deve equilibrar o peso para baixo. Assim
F = mg.
Substituindo F=iLB (porque \sin\theta=1):
i\,L\,B = m g.
Isolando a corrente:
i=\frac{m g}{L B}.

Passo 4

Converter unidades e calcular numericamente (faço passo a passo para você poder repetir na prova sem calculadora):
  • Converter massa: m=1{,}0\\ \mathrm{g}=0{,}001\\ \mathrm{kg}.
  • Converter comprimento: L=4{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • g=10{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}, B=1{,}0\\ \mathrm{T}.
Calcular o peso:
m g = 0{,}001\cdot 10{,}0 = 0{,}01\\ \mathrm{N}.
Calcular o denominador:
L B = 0{,}04\cdot 1{,}0 = 0{,}04\\ (\mathrm{m\cdot T}).
Portanto
i=\frac{0{,}01}{0{,}04}=0{,}25\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Interpretação física e checagens rápidas:
  • O valor i=0{,}25\\ \mathrm{A} é o mínimo para que a força magnética iguale exatamente o peso. Se a corrente for menor, iLB<mg e a barra cai; se for maior, a barra seria empurrada para cima (aceleração para cima).
  • Unidade: \mathrm{N}/(\mathrm{m\cdot T})=\mathrm{A}, então as unidades batem.
  • A direção da corrente deve ser como indicada na figura (da esquerda para a direita na barra) para que a força aponte para cima, já que o campo está entrando no plano.
Força extra de encorajamento: tá ficando bom — segue esse passo a passo na prova e resolve rapidinho!

Resposta

\;i_{\min}=0{,}25\\ \mathrm{A}

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