\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} \boldsymbol{)} \boldsymbol{(} \mathbf{2 , 0 0} pontos) Dois capacitores de placas planas e paralelas, cada um com capacitância igual a 12 \times 10^{-6} \mathrm{~F}, são ligados em paralelo a uma bateria de 30,0 \mathrm{~V}. Em seguida, a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade. Quando essa modificação acontece, qual é a carga total armazenada na associação de capacitores?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a carga total depois da modificação:
  • Dois capacitores de placas planas e paralelas, cada um com capacitância C=12\times 10^{-6}\,\mathrm{F}.
  • Eles estão ligados em paralelo a uma bateria que mantém uma diferença de potencial de V=30{,}0\,\mathrm{V}.
  • Em seguida, a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade.
  • Pergunta: qual é a carga total armazenada na associação de capacitores depois dessa modificação?
Informações relevantes listadas: C=12\times 10^{-6}\,\mathrm{F}, V=30{,}0\,\mathrm{V}, um capacitor tem sua distância entre placas reduzida a metade (isso altera a sua capacitância).

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (mini-aula rápida e prática):
  • A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por
C=\frac{\varepsilon_0 A}{d},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante), A é a área das placas e d é a distância entre elas. Aqui não precisamos do valor de \varepsilon_0 ou de A; o que importa é a dependência com d: C é inversamente proporcional a d. Ou seja, se d for dividido por 2, C dobra.
  • Capacitores em paralelo: a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias individuais:
C_{\text{eq}}=\sum C_i.
Numa associação em paralelo, todos os capacitores têm a mesma tensão V (a bateria mantém essa tensão se permanecer conectada).
  • A carga em um capacitor é
Q = C\,V,
onde Q é a carga armazenada, C a capacitância e V a diferença de potencial aplicada.
Vou usar essas fórmulas passo a passo — nada de pular etapas.

Passo 3

Estado inicial (antes de mexer na distância):
  • Cada capacitor tem C=12\times 10^{-6}\,\mathrm{F}.
  • Como estão em paralelo, a capacitância equivalente inicial é
C_{\text{eq, inicial}}=C+C=2C=2\cdot\left(12\times 10^{-6}\right)\,\mathrm{F}=24\times 10^{-6}\,\mathrm{F}.

Passo 4

Carga total no estado inicial (só para entender a evolução):
  • A carga total inicial é
Q_{\text{total, inicial}}=C_{\text{eq, inicial}}\;V=(24\times 10^{-6})\cdot 30{,}0.
  • Calculemos:
(24\times 10^{-6})\cdot 30{,}0 = 720\times 10^{-6}\,\mathrm{C}=7{,}20\times 10^{-4}\,\mathrm{C}.
(Anotei isso só para comparar depois — a pergunta quer a carga após a alteração.)

Passo 5

Efeito de reduzir a distância entre as placas de um capacitor à metade:
  • Pelo que dissemos antes, \;C=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\;, logo se d passa a ser d/2, a nova capacitância desse capacitor dobra.
  • Assim, após a modificação:
    • Um capacitor permanece com capacitância C=12\times 10^{-6}\,\mathrm{F}.
    • O outro passa a ter capacitância C' = 2C = 2\cdot\left(12\times 10^{-6}\right)\,\mathrm{F}=24\times 10^{-6}\,\mathrm{F}.

Passo 6

Capacitância equivalente após a modificação (com os dois em paralelo e a bateria ainda conectada):
  • Soma das capacitâncias:
C_{\text{eq, final}} = C + C' = C + 2C = 3C = 3\cdot\left(12\times 10^{-6}\right)\,\mathrm{F}.
  • Numericamente:
C_{\text{eq, final}} = 36\times 10^{-6}\,\mathrm{F}.

Passo 7

Carga total após a modificação (a bateria mantém V=30{,}0\,\mathrm{V}):
  • Usando Q_{\text{total}}=C_{\text{eq, final}}\,V, temos
Q_{\text{total, final}} = (36\times 10^{-6})\cdot 30{,}0.
  • Calculemos passo a passo:
36\times 30{,}0 = 1080,
portanto
(36\times 10^{-6})\cdot 30{,}0 = 1080\times 10^{-6}\,\mathrm{C} = 1{,}08\times 10^{-3}\,\mathrm{C}.
  • Em unidades mais usuais: 1080\\ \mu\mathrm{C} ou 1{,}08\times 10^{-3}\,\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica de prova:
  • Importante: aqui assumi que a bateria continua conectada durante a modificação (é o que o enunciado indica ao dizer que estão ligados em paralelo a uma bateria e em seguida se altera a distância). Isso faz com que a tensão em cada capacitor permaneça 30{,}0\,\mathrm{V} — por isso a carga total aumentou quando aumentamos a capacitância de um dos capacitores.
  • Se a bateria tivesse sido desconectada antes da alteração, o raciocínio seria diferente (a carga total se conservaria e a tensão mudaria). Em prova, fique atento a essa diferença — sempre leia se a bateria permanece conectada ou não.

Resposta

1{,}08\times 10^{-3}\,\mathrm{C}

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