pontos) Quatro cargas de
ocupam os vértices de um quadrado de lado 20 cm . Determine o trabalho do campo elétrico sobre uma carga de
que se desloca em equilíbrio do infinito até o meio de um dos lados.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Quatro cargas iguais ocupam os vértices de um quadrado de lado
. - Cada carga nos vértices vale
. - Uma carga teste de
é trazida do infinito até o ponto que fica no meio de um dos lados do quadrado, movida em equilíbrio (isto é, lentamente, quasiestaticamente). - Pergunta: qual é o trabalho do campo elétrico sobre a carga teste durante esse deslocamento do infinito até o meio do lado?
Dados relevantes (vou escrever já em unidades SI para facilitar):
,
,
.
Passo 2
Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- O potencial elétrico
gerado por um conjunto de cargas pontuais é a soma dos potenciais individuais:
onde
,
são as cargas fonte e
são as distâncias do ponto considerado a cada carga fonte.
- A energia potencial elétrica de uma carga
colocada num ponto de potencial é
Isso significa que, se a carga parte do infinito (onde normalmente tomamos
), a variação de energia potencial ao levar a carga até o ponto é
.
- O trabalho realizado pelo campo elétrico ao deslocar a carga é o negativo da variação da energia potencial (a força do campo é conservativa):
Portanto, a tarefa prática é: calcular
no ponto meio do lado e então calcular
.
Passo 3
Escolha de coordenadas e cálculo das distâncias (muito importante desenhar mentalmente o quadrado):
- Coloco o quadrado centrado na origem com lados paralelos aos eixos. Seja
. Então os vértices podem ser:
- O ponto pedido (meio de um dos lados), por exemplo o meio do lado superior, é
- Distâncias desse ponto até os vértices:
- Até os dois vértices do mesmo lado superior (direita e esquerda): cada distância é
(porque ficam a meio do lado). - Até os dois vértices do lado oposto (os inferiores): o vetor entre
e tem componentes , portanto a distância é
- Até os dois vértices do mesmo lado superior (direita e esquerda): cada distância é
Resumo das distâncias que vamos usar: dois vértices a
e dois vértices a
.
Passo 4
Cálculo do potencial no ponto final (soma das contribuições):
- Cada vértice tem carga
. O potencial total no ponto é
- Substituindo
e ,
- Fatorando,
Essa é a expressão analítica. Agora substituímos valores numéricos.
Passo 5
Cálculo numérico do potencial com todos os detalhes:
- Valores:
, , . - Primeiro calcule
:
(ou seja
).
- Agora calcule
:
Logo
.
- Fator
: com , temos e portanto
- Assim o potencial final é
Passo 6
Cálculo do trabalho do campo elétrico (assinatura correta):
- Relembrando a relação do Passo 2: o trabalho do campo elétrico ao levar a carga do infinito até o ponto é
- Substituindo
e ,
- Interpretação curta (para fixar): o resultado é negativo porque estamos trazendo uma carga positiva para uma região de potencial positivo; o campo elétrico se opõe ao deslocamento e, portanto, realiza trabalho negativo. Se você fosse calcular o trabalho que o agente externo realiza para fazer o processo em equilíbrio, ele seria
.