\mathbf{3}^{\boldsymbol{\circ}} \boldsymbol{)} \boldsymbol{(} \mathbf{2 , 0 0} pontos) Quatro cargas de 3 \mu \mathrm{C} ocupam os vértices de um quadrado de lado 20 cm . Determine o trabalho do campo elétrico sobre uma carga de 10 \mu \mathrm{C} que se desloca em equilíbrio do infinito até o meio de um dos lados.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Quatro cargas iguais ocupam os vértices de um quadrado de lado 20\\ \mathrm{cm}.
  • Cada carga nos vértices vale 3\\ \mu\mathrm{C}.
  • Uma carga teste de 10\\ \mu\mathrm{C} é trazida do infinito até o ponto que fica no meio de um dos lados do quadrado, movida em equilíbrio (isto é, lentamente, quasiestaticamente).
  • Pergunta: qual é o trabalho do campo elétrico sobre a carga teste durante esse deslocamento do infinito até o meio do lado?
Dados relevantes (vou escrever já em unidades SI para facilitar):
\displaystyle a=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}, \displaystyle Q_0=3\\ \mu\mathrm{C}=3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \displaystyle q=10\\ \mu\mathrm{C}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O potencial elétrico V(\mathbf r) gerado por um conjunto de cargas pontuais é a soma dos potenciais individuais:
V(\mathbf r)=k\sum_i\frac{Q_i}{r_i},
onde k=\displaystyle 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}, Q_i são as cargas fonte e r_i são as distâncias do ponto considerado a cada carga fonte.
  • A energia potencial elétrica de uma carga q colocada num ponto de potencial V é
U=qV.
Isso significa que, se a carga parte do infinito (onde normalmente tomamos V(\infty)=0), a variação de energia potencial ao levar a carga até o ponto é \Delta U=U_\text{final}-U_\text{inicial}=qV_\text{final}-0.
  • O trabalho realizado pelo campo elétrico ao deslocar a carga é o negativo da variação da energia potencial (a força do campo é conservativa):
W_\text{campo}=-\Delta U=-\big(qV_\text{final}-0\big)=-qV_\text{final}.
Portanto, a tarefa prática é: calcular V_\text{final} no ponto meio do lado e então calcular W_\text{campo}=-qV_\text{final}.

Passo 3

Escolha de coordenadas e cálculo das distâncias (muito importante desenhar mentalmente o quadrado):
  • Coloco o quadrado centrado na origem com lados paralelos aos eixos. Seja a=0,20\\ \mathrm{m}. Então os vértices podem ser:
\Big(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\Big),\quad \Big(-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\Big),\quad \Big(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2}\Big),\quad \Big(\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2}\Big).
  • O ponto pedido (meio de um dos lados), por exemplo o meio do lado superior, é
\Big(0,\tfrac{a}{2}\Big).
  • Distâncias desse ponto até os vértices:
    • Até os dois vértices do mesmo lado superior (direita e esquerda): cada distância é \displaystyle r_1=\frac{a}{2} (porque ficam a meio do lado).
    • Até os dois vértices do lado oposto (os inferiores): o vetor entre \big(0,\tfrac{a}{2}\big) e \big(\pm\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2}\big) tem componentes \big(\pm\tfrac{a}{2},-a\big), portanto a distância é
    r_2=\sqrt{\Big(\frac{a}{2}\Big)^2 + a^2 = \frac{5a^2}{4}}=\frac{a}{2}\sqrt{5}.
Resumo das distâncias que vamos usar: dois vértices a r_1=\tfrac{a}{2} e dois vértices a r_2=\tfrac{a}{2}\sqrt{5}.

Passo 4

Cálculo do potencial no ponto final (soma das contribuições):
  • Cada vértice tem carga Q_0. O potencial total no ponto é
V_\text{final}=k\left( \frac{Q_0}{r_1}+\frac{Q_0}{r_1}+\frac{Q_0}{r_2}+\frac{Q_0}{r_2}\right).
  • Substituindo r_1=\tfrac{a}{2} e r_2=\tfrac{a}{2}\sqrt{5},
V_\text{final}=kQ_0\left(\frac{2}{a/2}+\frac{2}{(a/2)\sqrt{5}}\right) = kQ_0\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{a\sqrt{5}}\right).
  • Fatorando,
V_\text{final}=\frac{4kQ_0}{a}\left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Essa é a expressão analítica. Agora substituímos valores numéricos.

Passo 5

Cálculo numérico do potencial com todos os detalhes:
  • Valores: k=8{,}988\times10^{9}, Q_0=3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, a=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule kQ_0:
kQ_0=(8{,}988\times10^{9})\times(3\times10^{-6})=8{,}988\times3\times10^{3}=26{,}964\times10^{3}=2{,}6964\times10^{4}.
(ou seja kQ_0\approx 2{,}6964\times10^{4}\\ \mathrm{V\cdot m}).
  • Agora calcule \dfrac{4kQ_0}{a}:
\frac{4kQ_0}{a}=\frac{4\times2{,}6964\times10^{4}}{0{,}20} = \frac{1{,}07856\times10^{5}}{0{,}20}=5{,}39280\times10^{5}.
Logo \dfrac{4kQ_0}{a}\approx 5{,}39280\times10^{5}\\ \mathrm{V}.
  • Fator \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{5}}: com \sqrt{5}\approx2{,}2360679, temos \dfrac{1}{\sqrt{5}}\approx0{,}4472136 e portanto
1+\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 1{,}4472136.
  • Assim o potencial final é
V_\text{final}\approx 5{,}39280\times10^{5}\times1{,}4472136\approx 7{,}8066\times10^{5}\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Cálculo do trabalho do campo elétrico (assinatura correta):
  • Relembrando a relação do Passo 2: o trabalho do campo elétrico ao levar a carga do infinito até o ponto é
W_\text{campo}=-qV_\text{final}.
  • Substituindo q=10\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e V_\text{final}\approx7{,}8066\times10^{5}\\ \mathrm{V},
W_\text{campo}\approx -\big(10\times10^{-6}\big)\times 7{,}8066\times10^{5} = -7{,}8066\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação curta (para fixar): o resultado é negativo porque estamos trazendo uma carga positiva para uma região de potencial positivo; o campo elétrico se opõe ao deslocamento e, portanto, realiza trabalho negativo. Se você fosse calcular o trabalho que o agente externo realiza para fazer o processo em equilíbrio, ele seria +7{,}8066\\ \mathrm{J}.

Resposta

-7{,}81\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados