\mathbf{1}^{\boldsymbol{\circ}} ) Um dado material metálico tem densidade igual a 8,94 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Sabendo que este material é formado por um elemento químico de raio atômico igual a 0,128 \mathrm{~nm}, peso atômico igual a 63,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e que o volume da célula unitária é conhecido e igual a 0,04745 \mathrm{~nm}^{3}, indique por meio de cálculos, qual a sua estrutura cristalina (CS, CFC, CCC ou HC).

Passo 1

O enunciado pede que, a partir dos dados fornecidos, você identifique a estrutura cristalina do material entre as opções: CS, CFC, CCC ou HC.
Dados fornecidos no enunciado (peguei todos estes valores diretamente do enunciado):
\text{densidade: }\rho = 8,94\\ \mathrm{g/cm^{3}}
\text{raio atômico: }r = 0,128\\ \mathrm{nm}ô
\text{peso atômico: }A = 63,5\\ \mathrm{g/mol}ô
\text{volume da célula unitária: }V_{c}=0,04745\\ \mathrm{nm^{3}}éá
A pergunta é: qual é a estrutura cristalina (CS, CFC, CCC ou HC)?

Passo 2

Vamos usar a relação que liga densidade, número de átomos por cela unitária, massa atômica e volume da cela:
\rho=\frac{nA}{V_{c}N_{A}}
Expliquei cada termo:
  • \rho é a densidade do cristal em \mathrm{g/cm^{3}}.
  • n é o número de átomos por célula unitária (é o que queremos inferir).
  • A é o peso atômico em \mathrm{g/mol}.
  • V_{c} é o volume da célula unitária em \mathrm{cm^{3}}.
  • N_{A} é a constante de Avogadro, N_{A}=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Isolamos n:
n=\frac{\rho\,V_{c}\,N_{A}}{A}
A ideia prática: calculamos o valor numérico de n. Se der próximo de 1,2,4 ou 6 escolhemos respectivamente CS, CCC, CFC ou HC (esses são os números típicos de átomos por cela unitária: CS \to 1, CCC \to 2, CFC \to 4, HC \to 6).

Passo 3

Primeiro é preciso converter o volume da célula unitária para \mathrm{cm^{3}}. Lembre que 1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm}, então 1\\ \mathrm{nm^{3}}=10^{-21}\\ \mathrm{cm^{3}}. Assim:
V_{c}=0,04745\\ \mathrm{nm^{3}}=0,04745\times10^{-21}\\ \mathrm{cm^{3}}=4,745\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente n usando a fórmula:
n=\frac{\rho\,V_{c}\,N_{A}}{A}.
Substituindo os valores (todos os números em notação decimal com vírgula, conforme enunciado):
\rho\,V_{c}=8,94\times 4{,}745\times10^{-23}=4{,}24203\times10^{-22}.
Multiplicando por N_{A}:
4{,}24203\times10^{-22}\times 6{,}022\times10^{23}=2{,}55455\times10^{2}.
Finalmente dividindo por A=63{,}5:
n=\frac{2{,}55455\times10^{2}}{63{,}5}\approx 4{,}02.
Ou seja, o valor calculado de n é aproximadamente 4.

Passo 5

Interpretação do resultado: o valor n\approx 4 indica que há aproximadamente 4 átomos por célula unitária. Como lembrete (mapeamento padrão):
\text{CS} \Rightarrow n=1,\qquad \text{CCC} \Rightarrow n=2,\qquad \text{CFC} \Rightarrow n=4,\qquad \text{HC} \Rightarrow n=6.
Portanto o caso n\approx 4 corresponde à estrutura com 4 átomos por célula unitária (o que tipicamente é a estrutura CFC).

Passo 6

Verificação geométrica (checagem extra, usando o raio atômico): para uma rede CFC a aresta da cela a relaciona-se com o raio atômico por
a=2\sqrt{2}\,r.
Substituindo r=0{,}128\\ \mathrm{nm}:
a=2\sqrt{2}\times0{,}128\\ \mathrm{nm}\approx 0{,}36204\\ \mathrm{nm}.
O volume da cela então é
a^{3}\approx (0{,}36204)^{3}\\ \mathrm{nm^{3}}\approx 0{,}04745\\ \mathrm{nm^{3}},
que coincide com o volume da célula unitária dado no enunciado. Essa checagem geométrica confirma que a hipótese n=4 (CFC) é consistente com o raio atômico e com o volume fornecido.

Resposta

CFC

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