\mathbf{1}^{\boldsymbol{\circ}} ) ( \mathbf{2 , 5 0} pontos) Uma carga puntiforme q_{1}=9,0 \mathrm{n} C está na origem e uma segunda carga puntiforme q_{2}=15,0 \mathrm{nC} está no eixo x=5,0 \mathrm{~m}. Determine o módulo e a direção do vetor campo elétrico no eixo y em y=2,0 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntiformes sobre o eixo x:
\displaystyle q_{1}=9{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C} em (0,0) e
\displaystyle q_{2}=15{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C} em (5{,}0,0).
Queremos o campo elétrico resultante em P=(0,2{,}0).
O conteúdo é superposição de campos e Lei de Coulomb \bigl(E = k\,q/r^2\bigr).

Passo 2

Calculemos os vetores posição relativos e suas normas:
Para q_{1} em (0,0) até P:
\mathbf{r}_{1} = (0,2{,}0)- (0,0) = (0,2{,}0),\quad r_{1} = \|\mathbf{r}_{1}\| = 2{,}0.
Para q_{2} em (5{,}0,0) até P:
\mathbf{r}_{2} = (0,2{,}0)- (5{,}0,0) = (-5{,}0,2{,}0),\quad r_{2} = \sqrt{(-5{,}0)^{2} + (2{,}0)^{2}} = \sqrt{29}\approx5{,}385.
Os vetores unitários são
\displaystyle \hat{\mathbf{r}}_{1} = \frac{\mathbf{r}_{1}}{r_{1}} = (0,1)
e
\displaystyle \hat{\mathbf{r}}_{2} = \frac{\mathbf{r}_{2}}{r_{2}} = \bigl(-\tfrac{5}{\sqrt{29}},\,\tfrac{2}{\sqrt{29}}\bigr).

Passo 3

O campo de q_{1} em P é
E_{1} = k\,\frac{q_{1}}{r_{1}^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}_{1} \quad\text{com }k=9{,}0\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Em valores:
E_{1} = 9{,}0\times10^{9}\,\frac{9{,}0\times10^{-9}}{(2{,}0)^{2}}\,(0,1) = \frac{81}{4}\,(0,1) = (0,20{,}25)\,\mathrm{N/C}.

Passo 4

O campo de q_{2} em P é
E_{2} = k\,\frac{q_{2}}{r_{2}^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}_{2}.
Calculando a magnitude:
\bigl\|E_{2}\bigr\| = 9{,}0\times10^{9}\,\frac{15{,}0\times10^{-9}}{29} \approx 4{,}655\\ \mathrm{N/C}.
Logo
E_{2} = 4{,}655\,\bigl(-\tfrac{5}{\sqrt{29}},\tfrac{2}{\sqrt{29}}\bigr) \approx(-4{,}33,\;1{,}73)\,\mathrm{N/C}.

Passo 5

Somando vetorialmente:
E_{x} = 0 + (-4{,}33) = -4{,}33, \quad E_{y} = 20{,}25 + 1{,}73 = 21{,}98.
A norma é
\bigl\|\mathbf{E}\bigr\| = \sqrt{(-4{,}33)^{2} + (21{,}98)^{2}} \approx 22{,}4\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Para a direção, medimos o ângulo \theta a partir do eixo x positivo:
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{E_{y}}{E_{x}}\bigr),
no segundo quadrante ( E_{x}<0,E_{y}>0):
\theta = 180^\circ - \arctan\!\bigl|\tfrac{21{,}98}{4{,}33}\bigr| \approx 180^\circ - 79^\circ = 101^\circ.

Resposta

Módulo: \,22{,}4\\ \mathrm{N/C}.
Direção: \,101^\circ em relação ao eixo x positivo.

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