Uma partícula se move no plano x y, sendo suas coordenadas posicionais dadas como funções do tempo por x(t)=3 t, y(t)=t^{3}-12 t. Determine
(a) o vetor deslocamento em t=3 \mathrm{~s},
(b) o vetor velocidade em \mathrm{t}=3 \mathrm{~s},
(c) o vetor aceleração em \mathrm{t}=3 \mathrm{~s},
(d) o vetor deslocamento,
(e) o vetor velocidade e
(f) o vetor aceleração quando a partícula estiver no ponto \mathrm{P}(6,-16).
(Suponha que as distâncias sejam medidas em metros e o tempo em segundos.)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas da partícula no plano como
x(t)=3t,\quad y(t)=t^3-12t
e pede (a)–(c) o vetor deslocamento, velocidade e aceleração em t=3\mathrm{\,s}, e (d)–(f) esses mesmos vetores quando a partícula passa pelo ponto P(6,-16). O conteúdo usado será cinemática vetorial, ou seja, r(t) como vetor posição, v(t)=r′(t) e a(t)=r’’(t).

Passo 2

Definimos o vetor deslocamento (posição) em função do tempo como
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j} =\bigl(3t\bigr)\mathbf{i}+\bigl(t^3-12t\bigr)\mathbf{j}.

Passo 3

A velocidade é a derivada de \mathbf{r}(t) e a aceleração é a derivada de \mathbf{v}(t):
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} =\bigl(3\bigr)\mathbf{i}+\bigl(3t^2-12\bigr)\mathbf{j},
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} =\bigl(0\bigr)\mathbf{i}+\bigl(6t\bigr)\mathbf{j}.

Passo 4

Em t=3\mathrm{\,s} substituímos em \mathbf{r}(t), \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t):
\mathbf{r}(3)=\bigl(3\cdot3\bigr)\mathbf{i}+\bigl(3^3-12\cdot3\bigr)\mathbf{j} =9\,\mathbf{i}-9\,\mathbf{j},
\mathbf{v}(3)=3\,\mathbf{i}+\bigl(3\cdot3^2-12\bigr)\mathbf{j} =3\,\mathbf{i}+15\,\mathbf{j},
\mathbf{a}(3)=0\,\mathbf{i}+(6\cdot3)\,\mathbf{j} =0\,\mathbf{i}+18\,\mathbf{j}.

Passo 5

Para achar o instante em que a partícula está em P(6,-16), resolvemos
x(t)=3t=6\implies t=2,
e verificamos
y(2)=2^3-12\cdot2=8-24=-16,
logo t=2 é o instante desejado.

Passo 6

Em t=2 obtemos
\mathbf{r}(2)=6\,\mathbf{i}-16\,\mathbf{j},
\mathbf{v}(2)=3\,\mathbf{i}+\bigl(3\cdot2^2-12\bigr)\mathbf{j} =3\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j},
\mathbf{a}(2)=0\,\mathbf{i}+(6\cdot2)\,\mathbf{j} =0\,\mathbf{i}+12\,\mathbf{j}.

Resposta

(a) \mathbf{r}(3)=9\,\mathbf{i}-9\,\mathbf{j}
(b) \mathbf{v}(3)=3\,\mathbf{i}+15\,\mathbf{j}
(c) \mathbf{a}(3)=0\,\mathbf{i}+18\,\mathbf{j}
(d) \mathbf{r}(2)=6\,\mathbf{i}-16\,\mathbf{j}
(e) \mathbf{v}(2)=3\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}
(f) \mathbf{a}(2)=0\,\mathbf{i}+12\,\mathbf{j}

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