Uma partícula se move em três dimensões com vetor posição dado por:
\vec{r}(t)=6 \hat{i}+(3+4 t) \hat{j}+\left(3+2 t-t^{2}\right) \hat{k}
(Distância em metros e tempo em segundos). Para \mathrm{t}=3 segundos responda qual é: o vetor velocidade? A velocidade? O vetor aceleração e o modulo da aceleração?

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição
\vec r(t)=6\hat{i}+(3+4t)\hat{j}+\bigl(3+2t-t^{2}\bigr)\hat{k}
e pede, em t=3 s, o vetor velocidade \vec v, a velocidade escalar \|\vec v\|, o vetor aceleração \vec a e o módulo \|\vec a\|. Vamos usar que
– a velocidade é a derivada do vetor posição: \vec v(t)=\dfrac{d\vec r}{dt},
– a aceleração é a derivada da velocidade: \vec a(t)=\dfrac{d\vec v}{dt}.

Passo 2

Derivando componente a componente,
\vec r(t)=\bigl(6,\;3+4t,\;3+2t-t^{2}\bigr)
logo
\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} =\bigl(0,\;4,\;2-2t\bigr) =0\hat{i}+4\hat{j}+(2-2t)\hat{k}.

Passo 3

Em t=3,
\vec v(3)=0\hat{i}+4\hat{j}+(2-6)\hat{k} =0\hat{i}+4\hat{j}-4\hat{k}.
A velocidade escalar (speed) é
\|\vec v(3)\|=\sqrt{0^{2}+4^{2}+(-4)^{2}} =\sqrt{16+16} =\sqrt{32} =4\sqrt{2}\\ \text{m/s}.

Passo 4

Derivando \vec v(t) para achar a aceleração,
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} =\bigl(0,\;0,\;-2\bigr) =0\hat{i}+0\hat{j}-2\hat{k}.

Passo 5

O módulo da aceleração é constante:
\|\vec a(t)\| =\sqrt{0^{2}+0^{2}+(-2)^{2}} =2\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

Vetor velocidade em t=3: \vec v(3)=0\hat{i}+4\hat{j}-4\hat{k}.
Velocidade escalar em t=3: \|\vec v(3)\|=4\sqrt{2}\\ \text{m/s}.
Vetor aceleração: \vec a(t)=0\hat{i}+0\hat{j}-2\hat{k}.
Módulo da aceleração: \|\vec a\|=2\\ \text{m/s}^{2}.

Exercícios relacionados