Seja uma corda na qual há uma onda harmônica se deslocando para esquerda. Considere que a amplitude da onda seja um décimo do comprimento de onda e que uma partícula da corda repete seu movimento a cada 4 s
(e) Qual o período e frequência das ondas geradas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do enunciado:
    • A amplitude da onda é um décimo do comprimento de onda. Ou seja, foi dado que A=\dfrac{\lambda}{10}.
    • Uma partícula da corda repete seu movimento a cada 4\\ \mathrm{s}. Ou seja, o intervalo de tempo entre duas posições iguais consecutivas da mesma partícula é 4\\ \mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede (parte (e)):
    • Qual é o período das ondas geradas?
    • Qual é a frequência das ondas geradas?

Passo 2

Entender o que significa "partícula da corda repete seu movimento a cada 4\\ \mathrm{s}".
  • A cada ponto fixo da corda (uma partícula da corda) o movimento oscilatório é periódico: depois de um certo tempo o deslocamento volta ao mesmo valor e com a mesma velocidade. Esse intervalo de tempo é chamado de período.
  • Denotemos por T o período da onda e por f a frequência. Por definição: T=\text{período (tempo para uma oscilação completa)}, \qquad f=\text{frequência (número de oscilações por segundo)}.íçãêúçõ
  • Relação fundamental entre T e f: f=\frac{1}{T}.

Passo 3

Usar a informação dada para identificar o período.
  • O enunciado diz explicitamente que "uma partícula da corda repete seu movimento a cada 4\\ \mathrm{s}". Isso é precisamente a definição de período do movimento local da corda.
  • Portanto: T=4\\ \mathrm{s}.
  • Comentário didático: isso vale independentemente da direção de propagação da onda (para a esquerda, para a direita) e independentemente da amplitude. A amplitude A=\dfrac{\lambda}{10} não altera o período nem a frequência; só dá a escala do deslocamento.

Passo 4

Calcular a frequência a partir do período usando f=\dfrac{1}{T}.
  • Substituindo T=4\\ \mathrm{s} na fórmula: f=\frac{1}{T}=\frac{1}{4\\ \mathrm{s}}=\frac{1}{4}\\ \mathrm{Hz}.
  • Converter para forma decimal: f=0,25\\ \mathrm{Hz}.
  • Explicação extra (útil na prova): a unidade Hertz significa “oscilações por segundo”, então 0,25\\ \mathrm{Hz} quer dizer que ocorrem 0,25 oscilações por segundo, ou uma oscilação a cada 4\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Relacionar com a forma matemática de uma onda harmônica (para fixar o conceito).
  • Uma onda harmônica que se propaga pode ser escrita (por exemplo) como y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi)no caso de propagação para a esquerda (o sinal + antes de \omega t indica isso).
  • Para um ponto fixo x a função do tempo é y(t)=A\sin(\omega t+\text{constante}),que tem período dado por T=\frac{2\pi}{\omega}e frequência angular \omega relacionada à frequência ordinária por f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{T}.
  • Assim, quando se diz que uma partícula repete o movimento a cada 4\\ \mathrm{s}, isso já nos diz diretamente o T, e a relação f=1/T fornece f. A amplitude A e o comprimento de onda \lambda aparecem em outras propriedades (energia, forma da onda, relação entre k e \lambda via k=\dfrac{2\pi}{\lambda}), mas não afetam T e f.

Passo 6

Resumo e reforço encorajador.
  • Concluímos de forma direta e segura que o período é o tempo dado no enunciado e que a frequência é o inverso desse tempo.
  • Ótimo trabalho por chegar até aqui — isto é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: identificar que “repetir movimento a cada …” é a definição de período e aplicar f=1/T.

Resposta

T=4\\ \mathrm{s}
f=0,25\\ \mathrm{Hz}

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