\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} Questão (\mathbf{2 , 0})

Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton ( \mathrm{E}_{1} ) emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio ( z=1 ) faz uma transição de uma órbita com número quântico n+1 para uma órbita de número quântico n é dado por:
E_{1}=E_{2}\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2} \frac{2 n+1}{2 n-1}\right]
Onde, \mathrm{E}_{2} é a energia do fóton liberado na transição do elétron da órbita n para a órbita n-1.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo aqui vem diretamente do enunciado):
  • Átomo: hidrogênio ( z=1).
  • Define-se E_{1} como a energia do fóton emitido quando o elétron faz a transição da órbita de número quântico n+1 para a órbita n.
  • Define-se E_{2} como a energia do fóton emitido quando o elétron faz a transição da órbita n para a órbita n-1.
  • A tarefa: mostrar que
E_{1}=E_{2}\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}\frac{2n+1}{2n-1}\right].
Observação necessária: implicitamente n é um inteiro com n\ge 2 (para que n-1\ge1).

Passo 2

Lembrando a expressão das energias das órbitas no modelo de Bohr (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • A energia da órbita com número quântico k é
E_k = -\frac{E_R Z^2}{k^2},
onde E_R é a energia de Rydberg (constante positiva; numericamente E_R\approx 13{,}6\\ \text{eV}) e Z é o número atômico. Para hidrogênio Z=1, então usamos
E_k = -\frac{E_R}{k^2}.
Explicação curta: cada nível tem energia negativa (ligado ao núcleo); quanto maior k, mais perto de zero é E_k. Quando o elétron cai de um nível inicial i para um nível final f ( i>f), a energia do fóton emitido é a diferença
E_{\text{fóton}} = E_i - E_f,ó
que é positiva porque E_i>E_f.

Passo 3

Calcular E_{1}, a energia do fóton para a transição n+1\to n.
Usando E_k = -\dfrac{E_R}{k^2} e a fórmula da diferença:
E_{1}=E_{n+1}-E_{n} = -E_R\!\left(\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n^2}\right).
Agora manipular a fração passo a passo:
\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} =\frac{n^2-(n^2+2n+1)}{n^2(n+1)^2} =\frac{-2n-1}{n^2(n+1)^2}.
Substituindo de volta:
E_{1}=-E_R\left(\frac{-2n-1}{n^2(n+1)^2}\right) =E_R\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}.

Passo 4

Calcular E_{2}, a energia do fóton para a transição n\to n-1.
Analogamente:
E_{2}=E_{n}-E_{n-1} = -E_R\!\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n-1)^2}\right).
Calcule a diferença:
\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n-1)^2}=\frac{(n-1)^2-n^2}{n^2(n-1)^2} =\frac{(n^2-2n+1)-n^2}{n^2(n-1)^2} =\frac{-2n+1}{n^2(n-1)^2}.
Substituindo:
E_{2}=-E_R\left(\frac{-2n+1}{n^2(n-1)^2}\right) =E_R\frac{2n-1}{n^2(n-1)^2}.

Passo 5

Formar a razão \dfrac{E_{1}}{E_{2}} para eliminar E_R e n^2 e ficar com uma expressão em função de n somente:
\frac{E_{1}}{E_{2}} =\frac{E_R\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}}{E_R\frac{2n-1}{n^2(n-1)^2}} =\frac{2n+1}{2n-1}\cdot\frac{(n-1)^2}{(n+1)^2}.
Aqui cancelou-se E_R e n^2.

Passo 6

Isolar E_{1} em função de E_{2} multiplicando ambos os lados por E_{2}:
E_{1}=E_{2}\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}\frac{2n+1}{2n-1}\right].
Essa é exatamente a fórmula pedida. Intuição rápida: as dependências quadráticas (n\pm1)^2 vêm dos termos \dfrac{1}{k^2} das energias de Bohr, e os fatores (2n\pm1) aparecem ao simplificar as diferenças de quadrados.

Passo 7

Resumo final rápido: usamos a fórmula das energias dos níveis de Bohr, escrevemos cada energia de fóton como diferença de níveis, calculamos explicitamente e simplificamos a razão para obter a relação entre E_1 e E_2. Você conseguiu! Se quiser, posso mostrar um exemplo numérico com um n específico para fixar a ideia.

Resposta

E_{1}=E_{2}\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}\frac{2n+1}{2n-1}\right]

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