Questão
Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton (
) emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio (
) faz uma transição de uma órbita com número quântico
para uma órbita de número quântico
é dado por:
Onde,
é a energia do fóton liberado na transição do elétron da órbita n para a órbita n-1.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo aqui vem diretamente do enunciado):
- Átomo: hidrogênio (
). - Define-se
como a energia do fóton emitido quando o elétron faz a transição da órbita de número quântico para a órbita . - Define-se
como a energia do fóton emitido quando o elétron faz a transição da órbita para a órbita . - A tarefa: mostrar que
Observação necessária: implicitamente
é um inteiro com
(para que
).
Passo 2
Lembrando a expressão das energias das órbitas no modelo de Bohr (vou explicar o que cada símbolo significa):
- A energia da órbita com número quântico
é
onde
é a energia de Rydberg (constante positiva; numericamente
) e
é o número atômico. Para hidrogênio
, então usamos
Explicação curta: cada nível tem energia negativa (ligado ao núcleo); quanto maior
, mais perto de zero é
. Quando o elétron cai de um nível inicial
para um nível final
(
), a energia do fóton emitido é a diferença
que é positiva porque
.
Passo 3
Calcular
, a energia do fóton para a transição
.
Usando e a fórmula da diferença:
Usando
Agora manipular a fração passo a passo:
Substituindo de volta:
Passo 4
Calcular
, a energia do fóton para a transição
.
Analogamente:
Analogamente:
Calcule a diferença:
Substituindo:
Passo 5
Formar a razão
para eliminar
e
e ficar com uma expressão em função de
somente:
Aqui cancelou-se
e
.
Passo 6
Isolar
em função de
multiplicando ambos os lados por
:
Essa é exatamente a fórmula pedida. Intuição rápida: as dependências quadráticas
vêm dos termos
das energias de Bohr, e os fatores
aparecem ao simplificar as diferenças de quadrados.
Passo 7
Resumo final rápido: usamos a fórmula das energias dos níveis de Bohr, escrevemos cada energia de fóton como diferença de níveis, calculamos explicitamente e simplificamos a razão para obter a relação entre
e
. Você conseguiu! Se quiser, posso mostrar um exemplo numérico com um
específico para fixar a ideia.