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Questão: Para o átomo de hidrogênio sabemos que a energia En de um elétron em seu nível n é dada por:
Mostre que a energia do fóton (Eλ) emitido na transição eletrônica do nível
a para
é dada por:
Passo 1
O enunciado dá a energia de um elétron no átomo de hidrogênio por nível:
Ele pede para mostrar que a energia do fóton emitido na transição do nível
para o nível
é
onde
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão de
para qualquer nível inteiro positivo . - A transição considerada é do nível inicial
para o nível final . - Deve-se obter a expressão analítica para a energia do fóton
.
Passo 2
Entender o que é a energia do fóton na emissão: quando um elétron vai de um nível inicial
para um nível final
com
, a energia do fóton emitido é a diferença
Aqui
e
. A condição
garante que ambos os níveis existam e que a diferença seja positiva (emissão).
Passo 3
Escrever as energias dos dois níveis usando a fórmula dada:
Aplicando a definição de
como diferença,
Passo 4
Agora vamos manipular a expressão de diferença de frações. Colocar as duas frações sobre um denominador comum:
Observar que
. Vamos calcular o numerador explicitamente.
Passo 5
Expandir os quadrados do numerador:
Ao subtrair, os termos
e
cancelam, sobrando
Passo 6
Substituindo numerador e denominador na diferença de frações obtemos
Multiplicando por
(veja o passo 3) dá a energia do fóton:
Passo 7
Comentário final curto e verificação: a expressão é positiva porque
(assim
); as unidades ficam em
se
estiver em
. Isso conclui a demonstração.