2 { }^{\text {a }} Questão: Para o átomo de hidrogênio sabemos que a energia En de um elétron em seu nível n é dada por:
E n=-\gamma / n^{2}, \operatorname{com} \gamma=13,6 e V
Mostre que a energia do fóton (Eλ) emitido na transição eletrônica do nível n+ a para n-a é dada por:
E \lambda=4 a n \gamma /\left(n^{2}-a^{2}\right)^{2}, \text { com } n \in N^{*} e n>a, a=(1,2,3,4, \ldots)

Passo 1

O enunciado dá a energia de um elétron no átomo de hidrogênio por nível:
E_n = -\frac{\gamma}{n^{2}},\quad \text{com }\gamma=13{,}6\\ \text{eV}.
Ele pede para mostrar que a energia do fóton emitido na transição do nível n+a para o nível n-a é
E_{\lambda}=\frac{4 a n \gamma}{\left(n^{2}-a^{2}\right)^{2}},
onde n\in\mathbb{N}^{*}, a\in\{1,2,3,\dots\} e n>a.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão de E_n para qualquer nível inteiro positivo n.
  • A transição considerada é do nível inicial n+a para o nível final n-a.
  • Deve-se obter a expressão analítica para a energia do fóton E_{\lambda}.

Passo 2

Entender o que é a energia do fóton na emissão: quando um elétron vai de um nível inicial n_{\text{ini}} para um nível final n_{\text{fin}} com E_{n_{\text{ini}}}>E_{n_{\text{fin}}}, a energia do fóton emitido é a diferença
E_{\lambda}=E_{n_{\text{ini}}}-E_{n_{\text{fin}}}.
Aqui n_{\text{ini}}=n+a e n_{\text{fin}}=n-a. A condição n>a garante que ambos os níveis existam e que a diferença seja positiva (emissão).

Passo 3

Escrever as energias dos dois níveis usando a fórmula dada:
E_{n+a} = -\frac{\gamma}{(n+a)^{2}}, \qquad E_{n-a} = -\frac{\gamma}{(n-a)^{2}}.
Aplicando a definição de E_{\lambda} como diferença,
E_{\lambda}=E_{n+a}-E_{n-a} = -\frac{\gamma}{(n+a)^{2}} -\left(-\frac{\gamma}{(n-a)^{2}}\right) = \gamma\!\left(\frac{1}{(n-a)^{2}}-\frac{1}{(n+a)^{2}}\right).

Passo 4

Agora vamos manipular a expressão de diferença de frações. Colocar as duas frações sobre um denominador comum:
\frac{1}{(n-a)^{2}}-\frac{1}{(n+a)^{2}} = \frac{(n+a)^{2}-(n-a)^{2}}{(n-a)^{2}(n+a)^{2}}.
Observar que (n-a)^{2}(n+a)^{2}=(n^{2}-a^{2})^{2}. Vamos calcular o numerador explicitamente.

Passo 5

Expandir os quadrados do numerador:
(n+a)^{2}-(n-a)^{2} = \big(n^{2}+2an+a^{2}\big) - \big(n^{2}-2an+a^{2}\big).
Ao subtrair, os termos n^{2} e a^{2} cancelam, sobrando
(n+a)^{2}-(n-a)^{2} = 4 a n.

Passo 6

Substituindo numerador e denominador na diferença de frações obtemos
\frac{1}{(n-a)^{2}}-\frac{1}{(n+a)^{2}} = \frac{4 a n}{(n^{2}-a^{2})^{2}}.
Multiplicando por \gamma (veja o passo 3) dá a energia do fóton:
E_{\lambda}=\gamma\cdot\frac{4 a n}{(n^{2}-a^{2})^{2}} = \frac{4 a n \gamma}{(n^{2}-a^{2})^{2}}.

Passo 7

Comentário final curto e verificação: a expressão é positiva porque n>a (assim n^{2}-a^{2}>0); as unidades ficam em \text{eV} se \gamma estiver em \text{eV}. Isso conclui a demonstração.

Resposta

E_{\lambda}=\frac{4 a n \gamma}{\left(n^{2}-a^{2}\right)^{2}}

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