\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} Questão (2.5 Pontos): Considere condições de regime estacionário na condução unidimensional em uma parede plana com uma condutividade térmica de \mathrm{k}=45 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e uma espessura L=0,5 \mathrm{~m}, sem geração interna de calor. Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida para cada caso mostrado na tabela e esboce a distribuição de temperatura, indicando a direção do fluxo térmico.
T1 = 50, t2 = -40, \mathrm{dt} / \mathrm{dx} = ?
caso T1 t2 \mathrm{dt} / \mathrm{dx}
1 50 -40 ?
2 -30 -5 ?
3 70 ? 100
4 ? 40 120
5 ? 15 200

Passo 1

O enunciado pede que, para cada caso da tabela, eu determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida, considerando condições de regime estacionário numa parede plana unidimensional sem geração interna. As informações dadas são:
k=45\\ \mathrm{W/(m^\circ C)},\qquad L=0{,}5\\ \mathrm{m}.
Tabela (dados fornecidos; “?” é o que devemos encontrar):
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{caso} & T_1\;(\!^\circ\!C) & T_2\;(\!^\circ\!C) & \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\;(\!^\circ\!C/\mathrm{m}) & \text{(a achar)}\\hline 1 & 50 & -40 & ? & \text{fluxo e }\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\\\\ 2 & -30 & -5 & ? & \text{fluxo e }\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\\\\ 3 & 70 & ? & 100 & \text{fluxo e }T_2\\\\ 4 & ? & 40 & 120 & \text{fluxo e }T_1\\\\ 5 & ? & 15 & 200 & \text{fluxo e }T_1 \end{array}
Observação sobre convenções (vou usar esta convenção ao longo da resolução): tomo o eixo x no sentido da face onde está T_1 (em x=0) até a face onde está T_2 (em x=L). A derivada \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} será calculada como \dfrac{T_2-T_1}{L}.

Passo 2

Ferramentas físicas e matemáticas que vamos usar (com explicação didática):
  1. Lei de Fourier em uma dimensão (regime estacionário, sem geração): a densidade de fluxo térmico (fluxo por unidade de área) é
q'' = -k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}.
Explicação: q'' tem unidade \mathrm{W/m^2}. O sinal negativo indica que o calor flui no sentido de temperatura decrescente (do quente para o frio). Se \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} for negativa (temperatura decresce com x), então q'' será positivo, o que significa fluxo na direção positiva de x. Se \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} for positiva, q'' será negativo (fluxo na direção negativa de x).
  1. Para uma parede homogênea e regime estacionário sem geração, a variação de temperatura é linear; assim a derivada média pode ser calculada por
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\frac{T_2-T_1}{L}.
  1. Se \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} for conhecida e faltar T_1 ou T_2, usamos a relação
T_2 = T_1 + L\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} \quad\text{ou}\quad T_1 = T_2 - L\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}.
Unidades importantes: T em ^\circ\!C, L em m, \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} em ^\circ\!C/\mathrm{m}, k em \mathrm{W/(m^\circ C)}, q'' em \mathrm{W/m^2}.

Passo 3

Dados: \;T_1=50\\ ^\circ\!C,\;T_2=-40\\ ^\circ\!C.
Calculo da inclinação:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\frac{T_2-T_1}{L}=\frac{-40-50}{0{,}5}=\frac{-90}{0{,}5}=-180\\ ^\circ\!C/\mathrm{m}.
Agora o fluxo por unidade de área pela Lei de Fourier:
q'' = -k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = -45\cdot(-180)=+8100\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação da direção: q''>0 (positivo) significa que o calor flui no sentido positivo de x, ou seja, da face com T_1=50\\ ^\circ\!C para a face com T_2=-40\\ ^\circ\!C (do quente para o frio). A distribuição de temperatura é linear decrescente de 50 a -40 sobre x\in[0,0{,}5].
Esboço conceitual (x aumenta para a direita):
\text{em }x=0:\\ T=50^\circ\!C \quad\longrightarrow\quad \text{em }x=0{,}5:\\ T=-40^\circ\!C
e a seta do fluxo: \rightarrow (da esquerda para a direita).

Passo 4

Dados: \;T_1=-30\\ ^\circ\!C,\;T_2=-5\\ ^\circ\!C.
Calculo da inclinação:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\frac{-5-(-30)}{0{,}5}=\frac{25}{0{,}5}=50\\ ^\circ\!C/\mathrm{m}.
Fluxo:
q'' = -45\cdot 50 = -2250\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: q''<0 indica fluxo na direção negativa de x, ou seja, do lado com T_2=-5\\ ^\circ\!C para o lado com T_1=-30\\ ^\circ\!C (da direita para a esquerda neste nosso esquema). A distribuição de temperatura é linear crescente de -30 a -5 sobre x\in[0,0{,}5].
Esboço conceitual:
\text{em }x=0:\\ T=-30^\circ\!C \quad\longrightarrow\quad \text{em }x=0{,}5:\\ T=-5^\circ\!C
seta do fluxo: \leftarrow (da direita para a esquerda).

Passo 5

Dados: \;T_1=70\\ ^\circ\!C,\;\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=100\\ ^\circ\!C/\mathrm{m}.
Achar T_2 usando T_2=T_1+L\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}:
T_2=70+0{,}5\cdot 100 = 70 + 50 = 120\\ ^\circ\!C.
Fluxo:
q'' = -45\cdot 100 = -4500\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=+100 significa que a temperatura aumenta no sentido positivo de x (mais quente na face 2), então o fluxo é negativo (vai no sentido negativo de x), ou seja, do T_2=120^\circ\!C para T_1=70^\circ\!C. Distribuição linear de 70 a 120.
Esboço conceitual:
x=0:\\ T=70^\circ\!C \longrightarrow x=0{,}5:\\ T=120^\circ\!C
seta do fluxo: \leftarrow.

Passo 6

Dados: \;T_2=40\\ ^\circ\!C,\;\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=120\\ ^\circ\!C/\mathrm{m}.
Achar T_1 usando T_1=T_2 - L\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}:
T_1 = 40 - 0{,}5\cdot 120 = 40 - 60 = -20\\ ^\circ\!C.
Fluxo:
q'' = -45\cdot 120 = -5400\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: gradiente positivo, então temperatura aumenta com x; fluxo é negativo (do lado direito para o esquerdo), ou seja, do 40^\circ\!C (face 2) para -20^\circ\!C (face 1). Distribuição linear de -20 a 40.
Esboço conceitual:
x=0:\\ T=-20^\circ\!C \longrightarrow x=0{,}5:\\ T=40^\circ\!C
seta do fluxo: \leftarrow.

Passo 7

Dados: \;T_2=15\\ ^\circ\!C,\;\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=200\\ ^\circ\!C/\mathrm{m}.
Achar T_1:
T_1 = 15 - 0{,}5\cdot 200 = 15 - 100 = -85\\ ^\circ\!C.
Fluxo:
q'' = -45\cdot 200 = -9000\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: gradiente positivo, temperatura aumenta com x; portanto o fluxo é negativo (do lado 2 para o lado 1). Distribuição linear de -85 a 15.
Esboço conceitual:
x=0:\\ T=-85^\circ\!C \longrightarrow x=0{,}5:\\ T=15^\circ\!C
seta do fluxo: \leftarrow.

Resposta

Caso 1: \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=-180\\ ^\circ\!C/\mathrm{m}; q''=+8100\\ \mathrm{W/m^2}
Caso 2: \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=50\\ ^\circ\!C/\mathrm{m}; q''=-2250\\ \mathrm{W/m^2}
Caso 3: T_2=120\\ ^\circ\!C; q''=-4500\\ \mathrm{W/m^2}
Caso 4: T_1=-20\\ ^\circ\!C; q''=-5400\\ \mathrm{W/m^2}
Caso 5: T_1=-85\\ ^\circ\!C; q''=-9000\\ \mathrm{W/m^2}

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