Questão (2.5 Pontos): Considere condições de regime estacionário na condução unidimensional em uma parede plana com uma condutividade térmica de
e uma espessura
, sem geração interna de calor. Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida para cada caso mostrado na tabela e esboce a distribuição de temperatura, indicando a direção do fluxo térmico.
T1 = 50, t2 = -40,
= ?
| caso | T1 | t2 |
|
||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 50 | -40 | ? | ||
| 2 | -30 | -5 | ? | ||
| 3 | 70 | ? | 100 | ||
| 4 | ? | 40 | 120 | ||
| 5 | ? | 15 | 200 |
Passo 1
O enunciado pede que, para cada caso da tabela, eu determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida, considerando condições de regime estacionário numa parede plana unidimensional sem geração interna. As informações dadas são:
Tabela (dados fornecidos; “?” é o que devemos encontrar):
Observação sobre convenções (vou usar esta convenção ao longo da resolução): tomo o eixo
no sentido da face onde está
(em
) até a face onde está
(em
). A derivada
será calculada como
.
Passo 2
Ferramentas físicas e matemáticas que vamos usar (com explicação didática):
- Lei de Fourier em uma dimensão (regime estacionário, sem geração): a densidade de fluxo térmico (fluxo por unidade de área) é
Explicação:
tem unidade
. O sinal negativo indica que o calor flui no sentido de temperatura decrescente (do quente para o frio). Se
for negativa (temperatura decresce com
), então
será positivo, o que significa fluxo na direção positiva de
. Se
for positiva,
será negativo (fluxo na direção negativa de
).
- Para uma parede homogênea e regime estacionário sem geração, a variação de temperatura é linear; assim a derivada média pode ser calculada por
- Se
for conhecida e faltar ou , usamos a relação
Unidades importantes:
em
,
em m,
em
,
em
,
em
.
Passo 3
Dados:
Calculo da inclinação:
Calculo da inclinação:
Agora o fluxo por unidade de área pela Lei de Fourier:
Interpretação da direção:
(positivo) significa que o calor flui no sentido positivo de
, ou seja, da face com
para a face com
(do quente para o frio). A distribuição de temperatura é linear decrescente de
a
sobre
.
Esboço conceitual (x aumenta para a direita):
e a seta do fluxo:
(da esquerda para a direita).
Passo 4
Dados:
Calculo da inclinação:
Calculo da inclinação:
Fluxo:
Interpretação:
indica fluxo na direção negativa de
, ou seja, do lado com
para o lado com
(da direita para a esquerda neste nosso esquema). A distribuição de temperatura é linear crescente de
a
sobre
.
Esboço conceitual:
seta do fluxo:
(da direita para a esquerda).
Passo 5
Dados:
Achar usando
:
Achar
Fluxo:
Interpretação:
significa que a temperatura aumenta no sentido positivo de
(mais quente na face 2), então o fluxo é negativo (vai no sentido negativo de
), ou seja, do
para
. Distribuição linear de
a
.
Esboço conceitual:
seta do fluxo:
.
Passo 6
Dados:
Achar usando
:
Achar
Fluxo:
Interpretação: gradiente positivo, então temperatura aumenta com
; fluxo é negativo (do lado direito para o esquerdo), ou seja, do
(face 2) para
(face 1). Distribuição linear de
a
.
Esboço conceitual:
seta do fluxo:
.
Passo 7
Dados:
Achar :
Achar
Fluxo:
Interpretação: gradiente positivo, temperatura aumenta com
; portanto o fluxo é negativo (do lado 2 para o lado 1). Distribuição linear de
a
.
Esboço conceitual:
seta do fluxo:
.
Resposta
Caso 1:
;
Caso 2: ;
Caso 3: ;
Caso 4: ;
Caso 5: ;
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Caso 5: