1{ }^{\mathrm{a}} AVALIACÃO - TIPO C

1^{\circ} Questão (2,5 Pontos): A parede de um forno de secagem é construida com a colocação de um material isolante, de condutividade térmica (k) é igual a 1,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, entre duas folhas de metal de condutividade térmica (k) igual a 30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Cada folha metálica tem 20 cm de espessura. O ar no interior do forno está a uma temperatura igual a 160^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente convectivo correspondente é hforno =30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}. Na superficie interna da parede está incidindo um fluxo radiante G igual 250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. A temperatura do ar no ambiente externo ao forno é Tex igual a 25^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente para a convecção do ar externo é h igual a 10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}\right). Sabendo que o coeficiente de absortividade da superficie da parede interna ao forno é igual a 0,5 e que a temperatura na interface isolante metal mais próxima ao interior do forno é 140^{\circ} \mathrm{C}. A área da parede é igual a 2 \mathrm{~m}^{2}. Calcule:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura L do isolamento é necessária para manter a superficie externa da parede a uma temperatura segura para o toque em 40^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados (valores por área, 1 m²):
  • Condutividade do isolante: k_{\text{ins}}=1{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
  • Condutividade do metal: k_{m}=30\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
  • Espessura de cada folha metálica: t_{m}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do ar interno: T_{\text{forno}}=160^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo interno: h_{\text{forno}}=30\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
  • Fluxo radiante incidente na superfície interna: G=250\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Coeficiente de absortividade da superfície interna: \alpha=0{,}5.
  • Temperatura do ar externo: T_{\text{ext}}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo externo: h_{\text{ext}}=10\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
  • Temperatura na interface isolante-metal mais próxima do interior: T_{\text{mi}}=140^\circ\mathrm{C} (esta foi dada).
  • Área da parede: A=2\\ \mathrm{m^2} (a solução será feita por unidade de área, depois se quiser o total multiplica por A).
O enunciado pede:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos — isto é:
  • T_{s,\text{in}}: temperatura da superfície interna do metal em contato com o ar do forno;
  • T_{s,\text{out}}: temperatura da superfície externa do metal em contato com o ar ambiente.
    b) A espessura L do isolamento necessária para manter a superfície externa da parede a 40^\circ\mathrm{C}.
Observação de modelagem (importante): assumimos regime estacionário, fluxo unidimensional de calor e que a radiação incidente é parcialmente absorvida pela superfície interna (absorção = \alpha G) e o restante é refletido. A equação de balanço na superfície interna envolve convecção + radiação absorvida. A mesma ordem de grandeza dos coeficientes e espessuras permite tratar por resistências térmicas em série.

Passo 2

Primeiro ensino as fórmulas básicas que vou usar (explicando o significado de cada termo):
  • Fluxo de calor por convecção na interface fluido-superfície:
    q_{\text{conv}} = h\,(T_{\text{fluido}}-T_{\text{superfície}}),í
    onde q_{\text{conv}} é o fluxo de calor por área ( \mathrm{W/m^2}), h é o coeficiente convectivo e T_{\text{fluido}} e T_{\text{superfície}}í são temperaturas do fluido e da superfície (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Radiação absorvida pela superfície:
    q_{\text{rad,abs}}=\alpha\,G,
    onde \alpha é a absortividade (fração de G que é absorvida).
  • Fluxo por condução numa camada plana (Lei de Fourier, 1D constante):
    q_{\text{cond}} = \frac{k}{t}\,(T_{\text{lado quente}}-T_{\text{lado frio}}),
    onde k é condutividade, t espessura da camada, e a diferença de temperaturas é do lado quente para o frio. Em regime estacionário o fluxo q é o mesmo por todas as camadas em série.
No caso da superfície interna, a energia que entra na superfície é a soma da convecção (do ar para a superfície) mais a radiação absorvida:
q = h_{\text{forno}}\,(T_{\text{forno}}-T_{s,\text{in}}) + \alpha G.
Pela condução no metal interno também vale
q = \frac{k_{m}}{t_{m}}\,(T_{s,\text{in}}-T_{\text{mi}}).
Essas duas expressões para q permitem resolver q e T_{s,\text{in}} quando T_{\text{mi}} é conhecido (é o caso do item a, onde T_{\text{mi}}=140^\circ\mathrm{C} foi dada).

Passo 3

Vamos calcular primeiro a fração radiativa absorvida:
\alpha G = 0{,}5 \times 250 = 125\\ \mathrm{W/m^2}.
Escrevendo as duas expressões para q:
q = h_{\text{forno}}\,(T_{\text{forno}}-T_{s,\text{in}}) + 125,
q = \frac{k_{m}}{t_{m}}\,(T_{s,\text{in}}-T_{\text{mi}}).
Isolando T_{s,\text{in}} da segunda equação:
T_{s,\text{in}} = T_{\text{mi}} + \frac{t_{m}}{k_{m}}\,q.
Substitui na primeira:
q = h_{\text{forno}}\Bigl(T_{\text{forno}}- \bigl(T_{\text{mi}} + \frac{t_{m}}{k_{m}}q\bigr)\Bigr) +125.
Agora substituo os números:
q = 30\Bigl(160 - \bigl(140 + \frac{0{,}20}{30}q\bigr)\Bigr) +125.
Calcule passo a passo:
\frac{0{,}20}{30} = \frac{2}{300} = \frac{1}{150},
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q = 30(160-140 - \tfrac{1}{150}q)+125 = 30(20 - \tfrac{q}{150})+125.
q = 600 - \frac{30}{150}q +125 = 725 - \frac{1}{5}q.
Passando termos:
q + \frac{1}{5}q = 725 \quad\Rightarrow\quad \frac{6}{5}q = 725.
q = 725\cdot\frac{5}{6} = \frac{3625}{6} \approx 604{,}166\\ \mathrm{W/m^2}.
Agora a temperatura da superfície interna:
T_{s,\text{in}} = T_{\text{mi}} + \frac{t_{m}}{k_{m}}\,q = 140 + \frac{0{,}20}{30}\cdot 604{,}166.
\frac{0{,}20}{30}\cdot 604{,}166 = \frac{1}{150}\cdot 604{,}166 \approx 4{,}0278.
T_{s,\text{in}} \approx 140 + 4{,}0278 = 144{,}0278^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com razoável precisão obtemos:
q \approx 604{,}17\\ \mathrm{W/m^2},\qquad T_{s,\text{in}}\approx 144{,}03^\circ\mathrm{C}.
Explicação física curta: o calor que entra na superfície interna é alta (mais de 600\\ \mathrm{W/m^2}) porque há convecção forte e ainda 125\\ \mathrm{W/m^2} de radiação absorvida; isto eleva a superfície interna pouco acima da interface metal/isolante dada.

Passo 4

Para a superfície externa, o fluxo q que atravessa o conjunto é o mesmo que encontramos (em regime estacionário). A relação por convecção externa dá diretamente a temperatura da superfície externa T_{s,\text{out}}:
q = h_{\text{ext}}\,(T_{s,\text{out}}-T_{\text{ext}}).
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T_{s,\text{out}} = T_{\text{ext}} + \frac{q}{h_{\text{ext}}} = 25 + \frac{604{,}166}{10} \approx 25 + 60{,}4166 = 85{,}4166^\circ\mathrm{C}.
Ou seja
T_{s,\text{out}}\approx 85{,}42^\circ\mathrm{C}.
Observação adicional: T_{s,\text{out}} não depende da espessura do isolante L enquanto q e h_{\text{ext}} forem os mesmos. Aqui q foi fixado pela condição interna (e pelo T_{\text{mi}} fornecido). Se, ao projetar, permitir que T_{\text{mi}} mude, q mudaria e aí T_{s,\text{out}} dependeria de L. A parte (b) é exatamente um projeto onde escolhemos L para obter T_{s,\text{out}}=40^\circ\mathrm{C}; nesse caso q não será o mesmo que no item (a) — resolvemos isso abaixo.

Passo 5

Agora queremos projetar o isolamento tal que a superfície externa alcance T_{s,\text{out}}=40^\circ\mathrm{C}. Neste caso procedemos assim:
  1. Se T_{s,\text{out}}=40^\circ\mathrm{C}, o fluxo q que sai para o ambiente é (pela convecção externa)
q = h_{\text{ext}}\,(T_{s,\text{out}}-T_{\text{ext}}) = 10\,(40-25)=150\\ \mathrm{W/m^2}.
  1. Com esse q, usamos o balanço na superfície interna para obter T_{s,\text{in}}. A equação é
q = h_{\text{forno}}\,(T_{\text{forno}}-T_{s,\text{in}}) + \alpha G.
Isolando T_{s,\text{in}}:
T_{s,\text{in}} = T_{\text{forno}} - \frac{q - \alpha G}{h_{\text{forno}}}.
Substituindo números:
q - \alpha G = 150 - 125 = 25\\ \mathrm{W/m^2},
T_{s,\text{in}} = 160 - \frac{25}{30} = 160 - 0{,}83333 = 159{,}16667^\circ\mathrm{C}.
  1. Temperatura na interface metal–isolante do lado interno (agora não é mais fixa e será calculada):
T_{\text{mi}} = T_{s,\text{in}} - \frac{t_{m}}{k_{m}}\,q = 159{,}16667 - \frac{0{,}20}{30}\cdot 150 = 159{,}16667 - 1 = 158{,}16667^\circ\mathrm{C}.
  1. Temperatura na interface isolante–metal do lado externo T_{\text{mo}} relaciona-se por condução no isolante:
T_{\text{mi}} - T_{\text{mo}} = \frac{q\,L}{k_{\text{ins}}}.
Também a queda no metal externo dá
T_{\text{mo}} - T_{s,\text{out}} = \frac{t_{m}}{k_{m}}\,q = \frac{0{,}20}{30}\cdot 150 = 1^\circ\mathrm{C}.
Como T_{s,\text{out}}=40^\circ\mathrm{C}, obtemos
T_{\text{mo}} = T_{s,\text{out}} + 1 = 41^\circ\mathrm{C}.
  1. Finalmente resolvemos para L:
T_{\text{mi}} - T_{\text{mo}} = \frac{q\,L}{k_{\text{ins}}} \quad\Rightarrow\quad L = \frac{k_{\text{ins}}(T_{\text{mi}}-T_{\text{mo}})}{q}.
Substituindo:
T_{\text{mi}}-T_{\text{mo}} = 158{,}16667 - 41 = 117{,}16667^\circ\mathrm{C},
L = \frac{1{,}5 \times 117{,}16667}{150} = \frac{175{,}75}{150} = 1{,}1716667\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
L \approx 1{,}172\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: esse valor é bastante grande (mais de 1 metro de isolamento). Isso acontece porque foi pedido reduzir a superfície externa a 40^\circ\mathrm{C} apesar de haver alto fluxo interno (radiação absorvida e ar a 160^\circ\mathrm{C}). Em projetos reais pode ser necessário combinar isolamento com redução do fluxo radiante (ex.: revestimento com baixa absortividade), usar metal mais fino, camadas adicionais de reflexão, ou barreiras radiativas para reduzir a necessidade de tanta espessura.

Resposta

T_{s,\text{in}} \approx 144{,}03^\circ\mathrm{C}
T_{s,\text{out}} \approx 85{,}42^\circ\mathrm{C}
L \approx 1{,}172\\ \mathrm{m}

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