AVALIACÃO - TIPO C
Questão (2,5 Pontos): A parede de um forno de secagem é construida com a colocação de um material isolante, de condutividade térmica (k) é igual a
, entre duas folhas de metal de condutividade térmica (k) igual a
. Cada folha metálica tem 20 cm de espessura. O ar no interior do forno está a uma temperatura igual a
e o coeficiente convectivo correspondente é hforno
. Na superficie interna da parede está incidindo um fluxo radiante G igual
. A temperatura do ar no ambiente externo ao forno é Tex igual a
e o coeficiente para a convecção do ar externo é h igual a
. Sabendo que o coeficiente de absortividade da superficie da parede interna ao forno é igual a 0,5 e que a temperatura na interface isolante metal mais próxima ao interior do forno é
. A área da parede é igual a
. Calcule:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura
do isolamento é necessária para manter a superficie externa da parede a uma temperatura segura para o toque em
?
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados (valores por área, 1 m²):
- Condutividade do isolante:
. - Condutividade do metal:
. - Espessura de cada folha metálica:
. - Temperatura do ar interno:
. - Coeficiente convectivo interno:
. - Fluxo radiante incidente na superfície interna:
. - Coeficiente de absortividade da superfície interna:
. - Temperatura do ar externo:
. - Coeficiente convectivo externo:
. - Temperatura na interface isolante-metal mais próxima do interior:
(esta foi dada). - Área da parede:
(a solução será feita por unidade de área, depois se quiser o total multiplica por ).
O enunciado pede:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos — isto é:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos — isto é:
-
: temperatura da superfície interna do metal em contato com o ar do forno; -
: temperatura da superfície externa do metal em contato com o ar ambiente.
b) A espessurado isolamento necessária para manter a superfície externa da parede a .
Observação de modelagem (importante): assumimos regime estacionário, fluxo unidimensional de calor e que a radiação incidente é parcialmente absorvida pela superfície interna (absorção =
) e o restante é refletido. A equação de balanço na superfície interna envolve convecção + radiação absorvida. A mesma ordem de grandeza dos coeficientes e espessuras permite tratar por resistências térmicas em série.
Passo 2
Primeiro ensino as fórmulas básicas que vou usar (explicando o significado de cada termo):
-
Fluxo de calor por convecção na interface fluido-superfície:onde
é o fluxo de calor por área ( ), é o coeficiente convectivo e e são temperaturas do fluido e da superfície (em ). -
Radiação absorvida pela superfície:onde
é a absortividade (fração de que é absorvida). -
Fluxo por condução numa camada plana (Lei de Fourier, 1D constante):onde
é condutividade, espessura da camada, e a diferença de temperaturas é do lado quente para o frio. Em regime estacionário o fluxo é o mesmo por todas as camadas em série.
No caso da superfície interna, a energia que entra na superfície é a soma da convecção (do ar para a superfície) mais a radiação absorvida:
Pela condução no metal interno também vale
Essas duas expressões para
permitem resolver
e
quando
é conhecido (é o caso do item a, onde
foi dada).
Passo 3
Vamos calcular primeiro a fração radiativa absorvida:
Escrevendo as duas expressões para
:
Isolando
da segunda equação:
Substitui na primeira:
Agora substituo os números:
Calcule passo a passo:
logo
Passando termos:
Agora a temperatura da superfície interna:
Arredondando com razoável precisão obtemos:
Explicação física curta: o calor que entra na superfície interna é alta (mais de
) porque há convecção forte e ainda
de radiação absorvida; isto eleva a superfície interna pouco acima da interface metal/isolante dada.
Passo 4
Para a superfície externa, o fluxo
que atravessa o conjunto é o mesmo que encontramos (em regime estacionário). A relação por convecção externa dá diretamente a temperatura da superfície externa
:
Logo
Ou seja
Observação adicional:
não depende da espessura do isolante
enquanto
e
forem os mesmos. Aqui
foi fixado pela condição interna (e pelo
fornecido). Se, ao projetar, permitir que
mude,
mudaria e aí
dependeria de
. A parte (b) é exatamente um projeto onde escolhemos
para obter
; nesse caso
não será o mesmo que no item (a) — resolvemos isso abaixo.
Passo 5
Agora queremos projetar o isolamento tal que a superfície externa alcance
. Neste caso procedemos assim:
- Se
, o fluxo que sai para o ambiente é (pela convecção externa)
- Com esse
, usamos o balanço na superfície interna para obter . A equação é
Isolando
:
Substituindo números:
- Temperatura na interface metal–isolante do lado interno (agora não é mais fixa e será calculada):
- Temperatura na interface isolante–metal do lado externo
relaciona-se por condução no isolante:
Também a queda no metal externo dá
Como
, obtemos
- Finalmente resolvemos para
:
Substituindo:
Arredondando:
Comentário prático: esse valor é bastante grande (mais de 1 metro de isolamento). Isso acontece porque foi pedido reduzir a superfície externa a
apesar de haver alto fluxo interno (radiação absorvida e ar a
). Em projetos reais pode ser necessário combinar isolamento com redução do fluxo radiante (ex.: revestimento com baixa absortividade), usar metal mais fino, camadas adicionais de reflexão, ou barreiras radiativas para reduzir a necessidade de tanta espessura.