\mathbf{2 6} - Para cada proposição abaixo, diga se é universal ou particular e determine o valorverdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais
\forall m \forall n(m<n)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Universo de discurso: o conjunto dos números naturais, isto é \mathbb{N}.
  • A proposição fornecida é \forall m \forall n (m<n).
  • O enunciado pede duas coisas para essa proposição:
    1. Dizer se é uma proposição universal ou particular.
    2. Determinar o valor‑verdade (verdadeira ou falsa).

Passo 2

Entendendo os quantificadores e a classificação pedida (aula rápida e simples).
  • Um quantificador universal \forall x significa "para todo x" — a proposição \forall x\,P(x) afirma que P(x) é verdadeira para qualquer elemento x do universo.
  • Um quantificador existencial \exists x (particular) significa "existe algum x" — a proposição \exists x\,P(x) afirma que há pelo menos um elemento x no universo para o qual P(x) é verdadeira.
  • Quando há dois quantificadores \forall m \forall n, isso é uma afirmação universal dupla: afirma que a propriedade vale para todo par (m,n) de naturais. Portanto, a formulação é de tipo universal (não particular).

Passo 3

O significado lógico da fórmula e como provar/contraprovar (procedimento).
  • A fórmula \forall m \forall n (m<n) diz, em palavras: "para todo m\in\mathbb{N} e para todo n\in\mathbb{N}, tem‑se m<n". Ou seja, cada par de naturais satisfaz m<n.
  • Para mostrar que uma afirmação universal é verdadeira, seria necessário provar a desigualdade para um m e n arbitrários (método direto).
  • Para mostrar que uma afirmação universal é falsa, basta encontrar um contraexemplo: um par (m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} tal que m<n não seja verdadeiro. Em lógica: a negação de \forall m\forall n(m<n) é \exists m\exists n\,\neg(m<n).

Passo 4

Construindo um contraexemplo (explicação passo a passo).
  • Uma maneira simples de quebrar a afirmação é tomar m e n iguais: escolha qualquer k\in\mathbb{N} e ponha m=k e n=k.
  • Para esse par temos \neg(m<n) porque m=n, e um número não é menor que ele mesmo: a desigualdade k<k é falsa para todo k\in\mathbb{N}.
  • Escrevendo de forma lógica: existe m e existe n (por exemplo m=n=k) tal que \neg(m<n) (porque m=n implica m\not< n, isto é m\ge n). Portanto \exists m\exists n\,\neg(m<n) é verdadeira.

Passo 5

Conclusão do raciocínio (como usar isso numa prova).
  • Encontrando um contraexemplo (m,n) com m=n mostra que a propriedade "sempre m<n" falha já nesse caso; assim a proposição universal não pode ser verdadeira.
  • Em provas, quando vês um \forall e suspeitas que é falsa, sempre tenta um contraexemplo simples: muitas vezes escolher elementos iguais ou extremos (menor/maior) funciona.

Resposta

Universal. Falsa.

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