- Para cada proposição abaixo, diga se é universal ou particular e determine o valorverdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Universo de discurso: o conjunto dos números naturais, isto é
. - A proposição fornecida é
. - O enunciado pede duas coisas para essa proposição:
- Dizer se é uma proposição universal ou particular.
- Determinar o valor‑verdade (verdadeira ou falsa).
Passo 2
Entendendo os quantificadores e a classificação pedida (aula rápida e simples).
- Um quantificador universal
significa "para todo " — a proposição afirma que é verdadeira para qualquer elemento do universo. - Um quantificador existencial
(particular) significa "existe algum " — a proposição afirma que há pelo menos um elemento no universo para o qual é verdadeira. - Quando há dois quantificadores
, isso é uma afirmação universal dupla: afirma que a propriedade vale para todo par de naturais. Portanto, a formulação é de tipo universal (não particular).
Passo 3
O significado lógico da fórmula e como provar/contraprovar (procedimento).
- A fórmula
diz, em palavras: "para todo e para todo , tem‑se ". Ou seja, cada par de naturais satisfaz . - Para mostrar que uma afirmação universal é verdadeira, seria necessário provar a desigualdade para um
e arbitrários (método direto). - Para mostrar que uma afirmação universal é falsa, basta encontrar um contraexemplo: um par
tal que não seja verdadeiro. Em lógica: a negação de é .
Passo 4
Construindo um contraexemplo (explicação passo a passo).
- Uma maneira simples de quebrar a afirmação é tomar
e iguais: escolha qualquer e ponha e . - Para esse par temos
porque , e um número não é menor que ele mesmo: a desigualdade é falsa para todo . - Escrevendo de forma lógica: existe
e existe (por exemplo ) tal que (porque implica , isto é ). Portanto é verdadeira.
Passo 5
Conclusão do raciocínio (como usar isso numa prova).
- Encontrando um contraexemplo
com mostra que a propriedade "sempre " falha já nesse caso; assim a proposição universal não pode ser verdadeira. - Em provas, quando vês um
e suspeitas que é falsa, sempre tenta um contraexemplo simples: muitas vezes escolher elementos iguais ou extremos (menor/maior) funciona.
Resposta
Universal. Falsa.