\mathbf{7}^{\circ} ) Questão ( 16,0 ptos, onde cada item vale 4,0 ptos).
Determine uma edo linear, cuja solução geral é dada por: y=c_{1} e^{t} \cos (3 t)+c_{2} e^{t} \operatorname{sen}(3 t)+c_{3} e^{t}+c_{4} t e^{t}+c_{5}.

Passo 1

O enunciado pede uma EDO linear de coeficientes constantes cuja solução geral é
y = c_{1}e^{t}\cos(3t) + c_{2}e^{t}\sin(3t) + c_{3}e^{t} + c_{4}\,t\,e^{t} + c_{5}.
O conteúdo envolve encontrar o polinômio característico que gere exatamente essas cinco raízes (com multiplicidades) e escrever a EDO correspondentes.

Passo 2

Cada termo da solução corresponde a raízes do polinômio característico:
  1. e^{t}\cos(3t) e e^{t}\sin(3t) vêm do par de raízes complexas 1\pm 3i. O fator do polinômio é
(r-1)^{2}+3^{2} \;=\; r^{2}-2r+10.
  1. e^{t} e t\,e^{t} vêm da raiz real r=1 com multiplicidade 2, ou seja, fator (r-1)^{2}.
  2. c_{5} (constante) vem da raiz r=0, ou seja, fator r.

Passo 3

O polinômio característico completo é o produto desses fatores:
(r^{2}-2r+10)\,(r-1)^{2}\,r = 0.
Em termos do operador D=\frac{d}{dt}, a EDO homogênea fica
(D^{2}-2D+10)\,(D-1)^{2}\,D\,y = 0.

Passo 4

Para escrever na forma expandida, primeiro calculamos (D-1)^{2}=D^{2}-2D+1 e depois
D\,(D^{2}-2D+1)=D^{3}-2D^{2}+D.
Multiplicando em seguida por D^{2}-2D+10:
(D^{2}-2D+10)(D^{3}-2D^{2}+D) = D^{5} -4D^{4} +15D^{3} -22D^{2} +10D.

Passo 5

Substituindo D^{k}y = y^{(k)}, a EDO fica
y^{(5)} -4y^{(4)} +15y^{(3)} -22y'' +10y' = 0.

Resposta

y^{(5)} -4y^{(4)} +15y^{(3)} -22y'' +10y' = 0.

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