\mathbf{7}^{\circ} ) Questão ( 16,0 ptos, onde cada item vale 4,0 ptos).
Verifique se o conjunto {x, \cos (2 x), sen ( 2 x )} é LI ou LD.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
\{x,\;\cos(2x),\;\sin(2x)\}
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço das funções reais. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: procuramos constantes a,b,c tais que
a\,x \;+\; b\,\cos(2x)\;+\; c\,\sin(2x)\;=\;0
para todo x. Se a única solução for a=b=c=0, então o conjunto é LI.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear geral igual a zero para todo x:
a\,x \;+\; b\,\cos(2x)\;+\; c\,\sin(2x)\;=\;0\quad\forall x.
Isso significa que a função
F(x)=a\,x + b\,\cos(2x) + c\,\sin(2x)
é a função nula. Logo, sua derivada e segunda derivada também devem ser nulas em todo x.

Passo 3

Derivando F(x)=0 uma vez, obtemos
F'(x)=a \;-\;2\,b\,\sin(2x)\;+\;2\,c\,\cos(2x)=0\quad\forall x.
Derivando de novo, vem
F''(x)=-4\,b\,\cos(2x)\;-\;4\,c\,\sin(2x)=0\quad\forall x.

Passo 4

Da equação F''(x)=0 dividimos por -4 e obtemos
b\,\cos(2x)\;+\;c\,\sin(2x)=0\quad\forall x.
Como as funções \cos(2x) e \sin(2x) são linearmente independentes, a única forma dessa combinação ser identicamente zero é
b=0 \quad\text{e}\quad c=0.

Passo 5

Voltando à equação original com b=c=0, resta
a\,x=0\quad\forall x,
o que só ocorre se
a=0.
Assim, a única solução para a,b,c é a trivial a=b=c=0.

Resposta

O conjunto \{x,\cos(2x),\sin(2x)\} é linearmente independente (LI).

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