\mathbf{7}^{\circ} ) Questão ( 16,0 ptos, onde cada item vale 4,0 ptos).
Determine o valor de a e b de modo que x e x^{3} sejam soluções da edo x^{3} y^{\prime \prime \prime}+6 x^{2} y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar constantes a e b de forma que as duas funções
y_1(x)=x \quad\text{e}\quad y_2(x)=x^3
sejam soluções da equação diferencial
x^3\,y''' + 6x^2\,y'' + a\,y' + b\,y = 0.
Para isso, vamos calcular as derivadas de cada função e exigir que, ao substituí-las na EDO, o resultado seja identicamente zero em x.

Passo 2

Considere y_1(x)=x. Então
y_1' = 1, \quad y_1'' = 0, \quad y_1''' = 0.
Substituindo na EDO:
x^3\cdot 0 + 6x^2\cdot 0 + a\cdot 1 + b\cdot x = a + b\,x \equiv 0 \quad\forall x.
Para que a + b\,x seja zero para todo x é necessário
b = 0 \quad\text{e}\quad a = 0.

Passo 3

Agora considere y_2(x)=x^3. Então
y_2' = 3x^2, \quad y_2'' = 6x, \quad y_2''' = 6.
Substituindo na EDO:
x^3\cdot 6 + 6x^2\cdot 6x + a\cdot 3x^2 + b\cdot x^3 = 6x^3 + 36x^3 + 3a\,x^2 + b\,x^3 = (42 + b)\,x^3 + 3a\,x^2 \equiv 0.
Para anular isso para todo x precisamos
42 + b = 0 \quad\text{e}\quad 3a = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -42,\;a = 0.

Passo 4

Do Passo 2 obtivemos a=0 e b=0, mas do Passo 3 requer-se a=0 e b=-42. Há contradição no valor de b. Logo não existe par (a,b) que torne simultaneamente y=x e y=x^3 soluções da EDO dada.

Resposta

Não existem valores de a e b tais que ambas as funções y=x e y=x^3 sejam soluções da equação diferencial proposta.

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