\mathbf{2}^{\circ} Questăo: A água quente a uma temperatura média de 70^{\circ} \mathrm{C} flui ao longo de uma tubulação de ferro fundido ( \mathrm{k}=60 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) com 15 m de comprimento, cujos diâmetros interno e externo são 4 cm e 4,5 \mathrm{~cm}, respectivamente e que está exposta ao ar ambiente a 10^{\circ} \mathrm{C}. Os coeficiente de transferência de calor por convecção såo, respectivamente. 120 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} na superficie interna e 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} na superficie externa.
a) Calcule a taxa de calor transferida para o ambiente sem o isolamento térmico.
b) Calcule a taxa de calor transferida da tubulação para o ambiente, se um isolante ( \mathrm{k}=0,025 \mathrm{~W} / \mathrm{mik} ) com espessura de 10 mm de espessura for instalado sobre a tubulação.
c) Os custos associados à geração do vapor e à instalação do isolante equivalem a \ 4 / 10^{9} \mathrm{~J} e$100 / \mathrm{m} de comprimento do tubo, respectivamente. Se a linha de vapor deve operar7500 \mathrm{~h} / \mathrm{ano}$, quantos anos såo necessários para que se tenha o retorno do investimento inicial no isolamento?
d) Esboce graficamente a distribuição de temperatura no conjunto tubo/isolamento.
e) Se a troca de calor por radiação fosse considerada entre o conjunto tubo/isolamento e a vizinhança, qual seria a influência sobre temperatura externa do isolamento?

Passo 1

Vamos organizar cuidadosamente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirei do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Temperatura do fluido: }T_f = 70^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Temperatura ambiente: }T_\infty = 10^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Comprimento do tubo: }L = 15\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Diâmetro interno: }D_i = 4{,}0\\ \mathrm{cm} \Rightarrow r_i = 0{,}02\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Diâmetro externo (tubo metálico): }D_o = 4{,}5\\ \mathrm{cm} \Rightarrow r_o = 0{,}0225\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Condutividade do ferro fundido: }k_{\text{tubo}} = 60\\ \mathrm{W/mK}\\\ &\text{Coeficiente conv. interno: }h_i = 120\\ \mathrm{W/m^2K}\\\ &\text{Coeficiente conv. externo: }h_o = 20\\ \mathrm{W/m^2K} \end{aligned}ââá
Para o caso com isolante (item b) o enunciado dá:
\begin{aligned} &\text{Espessura do isolante: }t_{\text{ins}} = 10\\ \mathrm{mm} = 0{,}01\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Condutividade do isolante: }k_{\text{ins}} = 0{,}025\\ \mathrm{W/mK}\\\ &\text{Logo: }r_{ins,o} = r_o + t_{\text{ins}} = 0{,}0225 + 0{,}01 = 0{,}0325\\ \mathrm{m} \end{aligned}
Pedidos:
a) Calcular a taxa de calor \dot{Q} perdida para o ambiente sem isolamento.
b) Calcular \dot{Q} com o isolante de 10 mm.
c) Com custos: geração de vapor \$4/10^{9}\\ \mathrm{J} e instalação \$100/\mathrm{m}. A linha opera 7500\\ \mathrm{h/ano}. Determinar quantos anos para retorno do investimento.
d) Esboçar (descrever) a distribuição de temperatura radial no conjunto tubo/isolamento.
e) Se considerar radiação entre a superfície externa e a vizinhança, qual a influência sobre a temperatura externa do isolamento?
A partir do Passo 2 inicio a resolução e ensino passo a passo os conceitos usados.

Passo 2

Conceito e modelo físico que vamos usar (muito importante): resistência térmica em séries para um problema cilíndrico com convecção e condução radial. Em regime permanente a taxa de calor é dada por
\dot{Q}=\frac{T_f-T_\infty}{R_\text{total}},
onde R_\text{total} é a soma das resistências térmicas do percurso do calor: convecção interna, condução radial através do tubo (hollow cylinder), condução radial através do isolante (se houver) e convecção externa.
Explicando cada resistência:
  • Resistência por convecção em superfície cilíndrica interna (área avaliada em r_i):
R_{ci}=\frac{1}{h_i A_i},\quad A_i = 2\pi r_i L.
Aqui h_i é o coeficiente convectivo interno e A_i é a área lateral interna do tubo.
  • Resistência por condução radial numa casca cilíndrica do raio r_1 até r_2 (material com condutividade k):
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.
Esta fórmula vem da solução da equação de condução em coordenadas cilíndricas no regime estacionário e condição de simetria axial.
  • Resistência por convecção na superfície externa (área avaliada no raio da superfície exposta):
R_{co}=\frac{1}{h_o A_o},\quad A_o = 2\pi r_{\text{superf}} L,
onde r_{\text{superf}} é r_o (sem isolante) ou r_{ins,o} (com isolante).
No exame você provavelmente aplicará exatamente estas fórmulas. Agora calculemos numericamente cada termo com cuidado.

Passo 3

Cálculos para o caso sem isolamento (item a).
  1. Calcule as áreas:
\begin{aligned} A_i &= 2\pi r_i L = 2\pi(0{,}02)(15)=0{,}6\pi\approx 1{,}885\\ \mathrm{m^2},\\\ A_o &= 2\pi r_o L = 2\pi(0{,}0225)(15)=0{,}675\pi\approx 2{,}121\\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}
  1. Resistência conv. interna:
R_{ci}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{120\cdot 1{,}885}\approx 0{,}004421\\ \mathrm{K/W}.
Explicação: isto significa que para cada watt que flui, a diferença de temperatura fluido–paredes internas aumenta 0{,}004421 K.
  1. Resistência por condução no corpo do tubo:
R_{\text{tubo}}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k_{\text{tubo}} L}.
Calculemos:
\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}0225}{0{,}02}\right)=\ln(1{,}125)\approx 0{,}117783,
2\pi k_{\text{tubo}} L = 2\pi\cdot 60\cdot 15 = 1800\pi \approx 5654{,}867,
R_{\text{tubo}}=\frac{0{,}117783}{5654{,}867}\approx 2{,}08\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.
Comentário: essa resistência é extremamente pequena em comparação com as resistências convectivas — o metal conduz muito bem.
  1. Resistência conv. externa (sem isolante), área em r_o:
R_{co}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{20\cdot 2{,}121}\approx 0{,}02358\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistência total e taxa de calor:
R_{\text{total}}=R_{ci}+R_{\text{tubo}}+R_{co}\approx 0{,}004421+2{,}08\cdot10^{-5}+0{,}02358\approx 0{,}02802\\ \mathrm{K/W}.
\dot{Q}_{\text{sem isol}}=\frac{T_f-T_\infty}{R_{\text{total}}}=\frac{70-10}{0{,}02802}\approx \frac{60}{0{,}02802}\approx 2142{,}8\\ \mathrm{W}.
Interpretação: sem isolamento o tubo perde cerca de 2{,}14\\ \mathrm{kW} para o ambiente.

Passo 4

Cálculos para o caso com isolamento de t_{\text{ins}}=0{,}01\\ \mathrm{m} (item b).
  1. Raio externo do isolante:
r_{ins,o} = 0{,}0325\\ \mathrm{m}.
  1. Área externa do isolante:
A_{ins,o}=2\pi r_{ins,o} L = 2\pi(0{,}0325)(15)=0{,}975\pi\approx 3{,}061\\ \mathrm{m^2}.
  1. Resistência do isolante por condução (entre r_o e r_{ins,o}):
R_{\text{ins}}=\frac{\ln(r_{ins,o}/r_o)}{2\pi k_{\text{ins}} L}.
Calculemos:
\ln\!\left(\frac{0{,}0325}{0{,}0225}\right)=\ln(1{,}444444)\approx 0{,}367724,
2\pi k_{\text{ins}} L = 2\pi(0{,}025)(15)=0{,}75\pi\approx 2{,}35619,
R_{\text{ins}}=\frac{0{,}367724}{2{,}35619}\approx 0{,}15617\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistência conv. externa agora avaliada na superfície do isolante:
R_{co,ins}=\frac{1}{h_o A_{ins,o}}=\frac{1}{20\cdot 3{,}061}\approx 0{,}01634\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistências internas (convecção interna e condução do metal) mantêm os mesmos valores:
R_{ci}\approx 0{,}004421,\quad R_{\text{tubo}}\approx 2{,}08\cdot 10^{-5}.
  1. Resistência total com isolante:
R_{\text{total,ins}}=R_{ci}+R_{\text{tubo}}+R_{\text{ins}}+R_{co,ins}\approx 0{,}004421+2{,}08\cdot10^{-5}+0{,}15617+0{,}01634\approx 0{,}17696\\ \mathrm{K/W}.
  1. Taxa de calor com isolante:
\dot{Q}_{\text{com ins}}=\frac{60}{R_{\text{total,ins}}}\approx \frac{60}{0{,}17696}\approx 339{,}3\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o isolante reduz a perda de 2142{,}8\\ \mathrm{W} para 339{,}3\\ \mathrm{W} — uma economia de cerca de 1{,}803{,}5\\ \mathrm{W} (ou 1{,}803,5\\ \mathrm{W} 1,803{,}5\\ \mathrm{W} dependendo da notação; aqui a diferença é \approx 1803{,}5\\ \mathrm{W}).

Passo 5

Cálculo da economia anual e tempo de retorno (item c).
  1. Economia de potência:
\Delta \dot{Q} = \dot{Q}_{\text{sem isol}} - \dot{Q}_{\text{com ins}} \approx 2142{,}8 - 339{,}3 = 1803{,}5\\ \mathrm{W}.
  1. Energia anual economizada (a linha opera 7500\\ \mathrm{h/ano}):
E_{\text{ano}} = \Delta \dot{Q}\cdot 7500\\ \mathrm{h}\cdot 3600\\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{h}} = \Delta \dot{Q}\cdot 27{,}000{,}000\\ \mathrm{s}.
E_{\text{ano}} \approx 1803{,}5\cdot 27{,}000{,}000 \approx 4{,}86945\cdot 10^{10}\\ \mathrm{J/ano}.
  1. Valor monetário anual economizado (custo gerac. vapor \$4/10^9\\ \mathrm{J} = 4\cdot 10^{-9}\\ \$/\mathrm{J}):
\text{Economia anual} = E_{\text{ano}}\cdot 4\cdot 10^{-9} \approx 4{,}86945\cdot 10^{10}\cdot 4\cdot 10^{-9}\approx 194{,}78\\ \\$.
Explicando: cada joule economizado vale 4\times 10^{-9}\\ \$, então multiplicamos.
  1. Custo da instalação do isolante:
\text{Custo}_\text{inst} = 100\\ \$/\mathrm{m}\times 15\\ \mathrm{m} = 1500\\ \$.
  1. Tempo de retorno (payback):
t_{\text{payback}}=\frac{\text{Custo}_\text{inst}}{\text{Economia anual}}\approx \frac{1500}{194{,}78}\approx 7{,}70\\ \mathrm{anos}.
Interpretação: aproximadamente 7{,}7 anos para recuperar o investimento, assumindo preços e operação constantes.

Passo 6

Temperaturas nas superfícies (interfases) — calculo detalhado para entender o perfil térmico (útil para o item d e compreensão).
Usamos quedas de temperatura proporcionais às resistências: \Delta T = \dot{Q}\cdot R.
Caso sem isolante ( \dot{Q}=2142{,}8\\ \mathrm{W}):
\begin{aligned} \Delta T_{ci} &= \dot{Q} R_{ci}\approx 2142{,}8\cdot 0{,}004421\approx 9{,}47^\circ\mathrm{C},\\\ T_{w,i}&=T_f-\Delta T_{ci}\approx 70-9{,}47=60{,}53^\circ\mathrm{C},\\\ \Delta T_{\text{tubo}}&\approx 2142{,}8\cdot 2{,}08\cdot10^{-5}\approx 0{,}045^\circ\mathrm{C},\\\ T_{w,o}&\approx 60{,}53-0{,}045=60{,}485^\circ\mathrm{C},\\\ \Delta T_{co}&=\dot{Q} R_{co}\approx 2142{,}8\cdot 0{,}02358\approx 50{,}49^\circ\mathrm{C},\\\ T_{w,o}-\Delta T_{co}&\approx 60{,}485-50{,}49\approx 10^\circ\mathrm{C}\\ (\text{consistente com }T_\infty). \end{aligned}
Caso com isolante ( \dot{Q}=339{,}3\\ \mathrm{W}):
\begin{aligned} \Delta T_{ci} &=339{,}3\cdot 0{,}004421\approx 1{,}50^\circ\mathrm{C},\\\ T_{w,i}&\approx 70-1{,}50=68{,}50^\circ\mathrm{C},\\\ \Delta T_{\text{tubo}}&\approx 339{,}3\cdot 2{,}08\cdot10^{-5}\approx 0{,}007^\circ\mathrm{C},\\\ T_{w,o}&\approx 68{,}50-0{,}007=68{,}493^\circ\mathrm{C},\\\ \Delta T_{\text{ins}}&=339{,}3\cdot 0{,}15617\approx 52{,}98^\circ\mathrm{C},\\\ T_{\text{surf,ins}}&=T_{w,o}-\Delta T_{\text{ins}}\approx 68{,}493-52{,}98\approx 15{,}51^\circ\mathrm{C},\\\ \Delta T_{co,ins}&=339{,}3\cdot 0{,}01634\approx 5{,}54^\circ\mathrm{C},\\\ T_{\text{surf,ins}}-\Delta T_{co,ins}&\approx 15{,}51-5{,}54\approx 9{,}97^\circ\mathrm{C}\approx T_\infty. \end{aligned}
Interpretação clara: com isolante a superfície externa do isolamento fica em torno de 15{,}5^\circ\mathrm{C} (bem próxima do ambiente), enquanto sem isolamento a superfície externa do metal fica em torno de 60{,}5^\circ\mathrm{C}. Isso mostra por que o isolante é eficaz.

Passo 7

Esboço e descrição qualitativa da distribuição de temperatura radial (item d).
  • Desenho mental (você desenharia T no eixo vertical e r no eixo horizontal): começa em T_f=70^\circ\mathrm{C} (fluido), há uma queda rápida e quase linear associada à convecção interna para a temperatura da parede interna T_{w,i}.
  • No corpo do tubo metálico (entre r_i e r_o) a temperatura varia muito pouco porque a resistência do metal é pequena; a curva é aproximadamente logarítmica mas com declive muito suave (praticamente plana): T_{w,i} cai só alguns centésimos até T_{w,o}.
  • Sem isolante: depois da parede externa a temperatura sofre uma queda acentuada associada à convecção externa até T_\infty. A queda mais significativa ocorre na resistência convectiva externa.
  • Com isolante: entre r_o e r_{ins,o} a temperatura decresce de forma logarítmica mais pronunciada (porque o isolante tem baixa condutividade), caindo de cerca de 68{,}5^\circ\mathrm{C} até \approx 15{,}5^\circ\mathrm{C} na superfície externa do isolante. Depois há um pequeno salto por convecção externa até 10^\circ\mathrm{C}.
  • Resumo visual: degrau (convecção interna) → quase plano (metal) → curva mais inclinada (isolante) → pequeno salto (convecção externa) → ambiente.

Passo 8

Influência da radiação entre a superfície externa do isolamento e a vizinhança (item e).
Conceito: além da convecção existe troca de calor por radiação. A radiação pode ser linearizada como um coeficiente convectivo adicional h_{\text{rad}}, de modo que a convecção efetiva é
h_{\text{ef}}=h_o+h_{\text{rad}}.
Uma forma prática de estimar h_{\text{rad}} é usar a aproximação
h_{\text{rad}}\approx 4\varepsilon\sigma T_m^3,
onde \varepsilon é a emissividade da superfície, \sigma=5{,}67\cdot10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4} e T_m é a temperatura média absoluta (K) entre superfície e ambiente. Vamos estimar com \varepsilon\approx 0{,}9 e usar a superfície do isolante aproximadamente T_{\text{surf,ins}}\approx 15{,}5^\circ\mathrm{C}=288{,}65\\ \mathrm{K} e T_\infty=10^\circ\mathrm{C}=283{,}15\\ \mathrm{K}. Tomando T_m\approx 285{,}9\\ \mathrm{K}:
h_{\text{rad}}\approx 4\cdot 0{,}9\cdot 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot (285{,}9)^3 \approx 4{,}8\\ \mathrm{W/m^2K}.
Logo h_{\text{ef}}\approx 20+4{,}8\approx 24{,}8\\ \mathrm{W/m^2K}. Reavaliando rapidamente o caso com isolante usando h_{\text{ef}} dá um leve aumento na perda de calor: calculando de forma análoga obtém-se \dot{Q} subindo de 339{,}3\\ \mathrm{W} para cerca de 345\\ \mathrm{W} (aumenta poucas dezenas de watts) e a temperatura externa do isolante cai ligeiramente (por exemplo de \approx 15{,}51^\circ\mathrm{C} para cerca de \approx 14{,}6^\circ\mathrm{C} na estimativa apresentada).
Conclusão qualitativa: considerar radiação aumenta a transferência de calor total, portanto a superfície externa do isolamento ficará um pouco mais fria (diferença de ordem de 1°C na estimativa), e a perda total de calor aumenta modestamente. Em muitas aplicações a correção por radiação é pequena se T estiver próximo do ambiente, mas deve ser incluída se precisão é necessária ou se superfícies estiverem muito quentes.

Resposta

a) \dot{Q}_{\text{sem isol}} \approx 2142{,}8\\ \mathrm{W}.
b) \dot{Q}_{\text{com isol}} \approx 339{,}3\\ \mathrm{W}.
c) Tempo de retorno \approx 7{,}7\\ \mathrm{anos}.
d) Perfil T(r): 70^\circ\mathrm{C} (fluido) → salto por convecção interna até \approx 60{,}5^\circ\mathrm{C} (sem isol.) ou \approx 68{,}5^\circ\mathrm{C} (com isol.) → queda quase nula no metal → (com isol.) queda logarítmica significativa no isolante até \approx 15{,}5^\circ\mathrm{C} na superfície externa → pequeno salto por convecção até 10^\circ\mathrm{C} (ambiente).
e) A inclusão da radiação aumenta a troca térmica total (p.ex. h_{\text{rad}}\sim 4{,}8\\ \mathrm{W/m^2K} estimado), levando a uma ligeira redução da temperatura externa do isolamento (ordem de ~1°C) e a um pequeno aumento da perda de calor (alguns watts).

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