Questão 10: Glicerina a 40^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=1252 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu=0.27 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\right) escoa através de um tubo horizontal liso de D=4 \mathrm{~cm} com velocidade média u_{m}=3.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a queda de pressão por 10 m de comprimento.

Passo 1

O enunciado pede a queda de pressão ao longo de 10\\ \mathrm{m} de um tubo horizontal liso por onde escoa glicerina a 40^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores que você deu):
\rho = 1252\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \mu = 0,27\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)},
D = 0,04\\ \mathrm{m},\qquad u_m = 3,5\\ \mathrm{m/s},\qquad L = 10\\ \mathrm{m}.
O que devemos determinar: a queda de pressão \Delta p entre os extremos do trecho de comprimento L=10\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro precisamos saber o regime de escoamento (laminar ou turbulento), porque a fórmula do atrito depende disso. Usamos o número de Reynolds, que é a medida adimensional que compara forças inerciais e viscosas no escoamento. A definição é:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,u_m\,D}{\mu},
onde:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • u_m é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
  • D é o diâmetro do tubo ( \mathrm{m}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{kg/(m\cdot s)}).
Agora substituímos os valores:
\mathrm{Re}=\frac{1252\cdot 3,5\cdot 0,04}{0,27}.
Calculemos passo a passo:
1252\cdot 3,5 = 4382,
4382\cdot 0,04 = 175,28,
\mathrm{Re}=\frac{175,28}{0,27}\approx 649,19.
Interpretação: como \mathrm{Re}\approx 649 (menor que 2000), o escoamento é laminar. Isso simplifica bastante: há fórmulas analíticas diretas para o atrito.

Passo 3

Para perda de carga por atrito usamos a fórmula de Darcy–Weisbach:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,u_m^{2}}{2},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional). Para escoamento laminar em tubo circular temos a relação simples:
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
Mas existe um atalho algebraico útil: substituindo f e \mathrm{Re}=\dfrac{\rho u_m D}{\mu} dentro da expressão de \Delta p resulta numa fórmula direta para \Delta p/L (muito prática quando o escoamento é laminar). Vou mostrar a manipulação para você entender e poder usar na prova.
Partimos de
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho u_m^{2}}{2}, \qquad f=\frac{64}{\mathrm{Re}}=\frac{64\,\mu}{\rho\,u_m\,D}.
Substituindo f:
\Delta p = \frac{64\,\mu}{\rho\,u_m\,D}\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{\rho u_m^{2}}{2}.
Simplificando \rho e uma potência de u_m:
\Delta p = \frac{64\,\mu\,u_m}{2}\cdot\frac{L}{D^{2}}.
E finalmente:
\frac{\Delta p}{L} = \frac{32\,\mu\,u_m}{D^{2}}.
Explicação do que cada termo significa: \Delta p/L é a queda de pressão por unidade de comprimento; \mu controla a resistência viscosa; u_m é a velocidade que gera atrito; D entra ao quadrado porque, em tubos finos, a resistência aumenta fortemente quando o diâmetro diminui.
Esse resultado é prático: em escoamento laminar, não precisamos calcular f separadamente — podemos usar direto essa fórmula.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula numérica:
\frac{\Delta p}{L} = \frac{32\,\mu\,u_m}{D^{2}}.
Substituindo os valores:
D^{2} = (0,04)^{2} = 0,0016\\ \mathrm{m^{2}},
32\,\mu\,u_m = 32\cdot 0,27\cdot 3,5.
Calculemos 32\cdot 0,27\cdot 3,5:
0,27\cdot 3,5 = 0,945,
32\cdot 0,945 = 30,24.
Portanto
\frac{\Delta p}{L} = \frac{30,24}{0,0016} = 18\,900\\ \mathrm{Pa/m}.
Multiplicando pelo comprimento L=10\\ \mathrm{m}:
\Delta p = 18\,900\cdot 10 = 189\,000\\ \mathrm{Pa}.
Em notação científica e em unidade prática:
\Delta p = 1,89\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} \approx 189\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Resumo físico e dica para a prova: o escoamento foi laminar porque \mathrm{Re}<2000. Para laminar em tubo circular, usar \Delta p/L = 32\mu u_m / D^{2} é rápido e evita calcular f separadamente — boa economia de tempo. Sempre verifique Re antes de decidir o método.

Resposta

\Delta p = 1,89\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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