3^{\text {a }} Questão: (5 pontos) a) Em uma padaria deseja-se estimar o tempo de resfriamento do pão de queijo para iniciar o processo de embalagem dos mesmos e você foi contratado para estimar esse tempo. Após observações você anotou as seguintes informações: o păo de queijo pode ser considerado esférico ( R=1,0 \mathrm{~cm} ), a temperatura de saida do forno é 200^{\circ} \mathrm{C}, o ar ambiente está a 25^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura ideal para o processo de embalagem é 27^{\circ} \mathrm{C}, o coeficiente de transferência de calor por conveção é estimado em 25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Após pesquisa na internet você conseguiu obter algumas informações sobre as propriedades térmicas do păo de queijo assado, que săo: \rho=280 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=3000 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K}, k=0,12 W / m K. Dados adicionais: Volume da esfera: V=(4 / 3) \pi R^{3}; Área da esfera: A=4 \pi R^{2}, onde R é o raio da esfera. Justifique sua resposta.b) Esboce a distribuição da temperatura no pão de queijo c) Como obter uma solução mais precisa para o problema em questão? Explique.

Passo 1

Enunciado e dados (resumidos e organizados):
\begin{aligned} &\text{Pedir:} \\\ &\quad\text{(a) estimar o tempo até o pão de queijo atingir }27^\circ\mathrm{C}\\ (\text{a partir de }200^\circ\mathrm{C});\\\ &\quad\text{(b) esboçar a distribuição de temperatura no pão;}\\\ &\quad\text{\text{(c)} explicar como obter solução mais precisa.} \\\ &\text{Dados:} \\\ &\quad R=1,0\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m},\\\ &\quad T_i=200^\circ\mathrm{C},\quad T_\infty=25^\circ\mathrm{C},\quad T_{emb}=27^\circ\mathrm{C},\\\ &\quad h=25\\ \mathrm{W/(m^2\;K)},\\\ &\quad \rho=280\\ \mathrm{kg/m^3},\quad c_p=3000\\ \mathrm{J/(kg\;K)},\quad k=0,12\\ \mathrm{W/(m\;K)}.\\\ &\text{Fórmulas úteis dadas: }V=\tfrac{4}{3}\pi R^3,\quad A=4\pi R^2. \end{aligned}éãççããçãóú

Passo 2

Decisão do método (criterião prático): calcular o número de Biot \mathrm{Bi} para saber se podemos tratar o pão como corpo de temperatura uniforme (modelo “lumped capacitance”) ou se devemos considerar gradientes internos.
Definições úteis:
L_c=\frac{V}{A}=\frac{R}{3}\quad\text{(comprimento característico da esfera)},í
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}.
Cálculo numérico:
L_c=\frac{0,01}{3}=0,003333\\ \mathrm{m},
\mathrm{Bi}=\frac{25\cdot 0,003333}{0,12}=\frac{0,083333}{0,12}\approx 0{,}694\.
Interpretação didática: o critério usual é que, se \mathrm{Bi}<0{,}1, a temperatura interna é praticamente uniforme e o modelo lumped é válido. Aqui \mathrm{Bi}\approx 0{,}694\gg 0{,}1, ou seja, há resistência térmica interna significativa e a hipótese de temperatura uniforme NÃO é rigorosamente válida. Ainda assim, o modelo lumped dá uma estimativa rápida/ordem de grandeza; veremos isso e depois comentamos métodos mais precisos.

Passo 3

Aplicando o modelo lumped (estimativa rápida, entender a dedução)
Energia interna do corpo por unidade de volume: \rho c_p.
Balanço de energia (modelo lumped, assumindo T(t) uniforme no corpo):
\rho c_p V \frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T(t)-T_\infty\bigr).
Separando e integrando obtém-se a solução exponencial padrão:
T(t)=T_\infty + (T_i-T_\infty)\exp\!\Bigl(-\frac{hA}{\rho c_p V}t\Bigr).
Observação didática: a razão \tau=\dfrac{\rho c_p V}{hA} é a constante de tempo térmica do sistema no modelo lumped; ela mede quanto tempo o corpo leva para responder à troca térmica com o ambiente.

Passo 4

Simplificação para esfera (fórmula com R)
Para esfera temos V/A=R/3, logo a constante de tempo
\tau=\frac{\rho c_p R}{3h}.
Calculemos \tau:
\tau=\frac{280\cdot 3000\cdot 0{,}01}{3\cdot 25}=\frac{8400}{75}=112\\ \mathrm{s}.
Agora aplicamos a solução para achar t tal que T(t)=27^\circ\mathrm{C}. Defina a temperatura normalizada
\theta(t)=\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}.
Queremos \theta(t^\ast)=\dfrac{27-25}{200-25}=\dfrac{2}{175}=0{,}0114286.
Da expressão exponencial:
\theta(t)=\exp\!\Bigl(-\frac{t}{\tau}\Bigr)\quad\Rightarrow\quad t=-\tau\ln(\theta).
Cálculo numérico:
t=-112\cdot\ln(0{,}0114286)=112\cdot 4{,}47164\approx 500{,}5\\ \mathrm{s}.
Conclusão prática (modelo lumped): t\approx 5,0\times 10^{2}\\ \mathrm{s}\approx 8{,}3\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Interpretação física da estimativa e confiança na resposta
  • Lembrete: já calculamos \mathrm{Bi}\approx 0{,}694, portanto a hipótese de temperatura uniforme é inválida; o resultado do passo anterior é uma estimativa de ordem de grandeza, e tipicamente fornece um tempo que é um limite inferior para o resfriamento do centro (isto é, o centro normalmente demora MAIS para esfriar do que prevê o modelo lumped quando há gradientes internos). Em palavras simples: o modelo lumped “superestima” a rapidez do resfriamento do núcleo quando \mathrm{Bi} não é pequeno.
  • Para ter uma ideia da difusão térmica, calculemos a difusividade térmica \alpha e o número de Fourier \mathrm{Fo} na ordem do nosso tempo estimado (isto ajuda a escolher método mais preciso):
\alpha=\frac{k}{\rho c_p}=\frac{0{,}12}{280\cdot 3000}=\frac{0{,}12}{840000}\approx 1{,}4286\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Com t\approx 500\\ \mathrm{s},
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{R^2}=\frac{1{,}4286\times 10^{-7}\cdot 500}{(0{,}01)^2} = \frac{7{,}143\times 10^{-5}}{1\times 10^{-4}}\approx 0{,}714.
Valor de \mathrm{Fo} da ordem de 10^{-0} e \mathrm{Bi}\sim 0{,}7 confirma que existem gradientes internos e que a solução mais correta envolve condução transiente no interior (não apenas convecção na superfície).

Passo 6

Descrevendo qualitativamente a distribuição de temperatura (parte b)
  • No instante inicial t=0: temperatura uniforme \,200^\circ\mathrm{C} em todo o volume.
  • Em tempos pequenos (primeiros segundos a minutos): a superfície resfria rapidamente pela convecção com o ar frio; isto cria um gradiente radial: T decresce do centro para a superfície. A superfície estará muito mais próxima de 25^\circ\mathrm{C} do que o centro.
  • Em tempos intermediários até o equilíbrio: o gradiente permanece, mas diminui à medida que a condução interna transporta calor do centro para a superfície. O centro é sempre a região mais quente até que todo o corpo chegue a 27^\circ\mathrm{C}.
  • Esboço (descritivo): curvas T(r) para tempos crescentes t_1<t_2<t_3: todas são funções monótonas decrescentes de r=0 (centro) para r=R (superfície); a inclinação \partial T/\partial r é maior nos tempos iniciais e vai diminuindo com o tempo.

Passo 7

Como obter uma solução mais precisa (parte c) — métodos e passos práticos
Opções ordenadas por precisão/praticidade:
  1. Heisler / Grober charts (método prático):
    • Use os gráficos clássicos de Heisler para esfera que relacionam \theta (temperatura normalizada no centro), \mathrm{Fo} e \mathrm{Bi}. Com \mathrm{Bi}\approx 0{,}694 e variando \mathrm{Fo} você encontra o \mathrm{Fo} correto que dá \theta=0{,}01143 e daí t=\mathrm{Fo}\,R^2/\alpha. É um método rápido e suficientemente preciso para engenharia.
  2. Solução por série (teórica — mais precisa):
    • A solução analítica da equação de difusão transiente em coordenadas radiais para esfera com condição convectiva na superfície é uma série infinita em modos próprios (autovalores). Truncando após o primeiro termo (primeiro modo) e calculando o autovalor correspondente (que depende de \mathrm{Bi}) obtém-se uma aproximação bem melhor que o lumped. A implementação exige resolver numericamente uma equação transcendente para o autovalor e avaliar o termo exponencial.
  3. Solução numérica (recomendado para maior precisão e facilidade atual):
    • Discretizar a equação de calor radial (diferença finita implícita ou Crank–Nicolson) em N nós no raio. Impor condição de simetria no centro e condição convectiva na superfície. Integrar em tempo até o nó central atingir 27^\circ\mathrm{C}.
    • Vantagem: facilmente implementável em Python/Matlab/Excel e permite incluir variações do material, fontes internas, geometria não perfeita.
  4. Simulação FEM (software comercial como COMSOL, ANSYS):
    • Solução numérica de alta fidelidade, permite geometria 3D, propriedades dependentes da temperatura, radiação, movimentos, etc.
Passos práticos para usar uma solução numérica simples (esqueleto):
  • Calcule \alpha.
  • Divida 0\le r\le R em N fatias, escreva o esquema implícito no tempo (estável para passos maiores).
  • Use condição no centro \partial T/\partial r=0 e na superfície -k \partial T/\partial r\big|_{r=R}=h\bigl(T_R-T_\infty\bigr).
  • Integre até T_{\text{centro}}=27^\circ\mathrm{C}. Isso dá a resposta mais confiável sem tabelas.

Resposta

(a) Estimativa rápida pelo modelo lumped (não rigorosamente válido porque \mathrm{Bi}\approx 0{,}694>0{,}1): t\approx 5,0\times 10^{2}\\ \mathrm{s}\approx 8{,}3\\ \mathrm{min}. Este valor é uma ordem de grandeza/limite inferior; o tempo real para o centro esfriar até 27^\circ\mathrm{C} será maior devido a gradientes internos.
(b) Distribuição de temperatura: curva radial T(r) monótona decrescente do centro ( r=0) para a superfície ( r=R); inicialmente superfície muito mais fria que o centro (gradiente acentuado), gradiente vai suavizando com o tempo até o equilíbrio.
(c) Para solução mais precisa: usar Heisler charts (prática), ou a solução por séries truncadas (modo próprio) resolvendo numericamente o autovalor dependente de \mathrm{Bi}, ou ainda resolver numericamente a equação de difusão transiente por diferenças finitas (ou FEM) — este último é o mais direto e preciso na prática.

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