Considere a EDL de primeira ordem na sua forma padrão:
em que
e
são funções contínuas.
(a) Analise se a equação acima é uma equação de variáveis separáveis. Justifique sua resposta.
(b) Determine sob quais condições sobre as funções
e
, esta EDL torna-se separável.
(a) Analise se a equação acima é uma equação de variáveis separáveis. Justifique sua resposta.
(b) Determine sob quais condições sobre as funções
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem na forma padrão:
em que
e
são funções contínuas. O enunciado pede duas coisas:
- (a) Analisar se essa equação é uma equação de variáveis separáveis (ou seja: responder se, em geral, ela é separável) e justificar.
- (b) Determinar sob quais condições sobre
e a EDO torna-se separável (ou seja: caracterizar precisamente quando é possível reescrevê-la na forma separável).
Passo 2
O que significa “separável”? Vou explicar devagar como um colega que está ao lado.
- Uma EDO de primeira ordem é separável se pode ser escrita como
onde
é função somente de
e
é função somente de
. Nesse caso separa-se em
e integra-se cada lado. Essa é a definição que vamos usar.
Passo 3
Reescrevamos a equação dada isolando
:
Para que seja separável precisamos encontrar funções
e
tais que, para todo
e todo
,
Ou seja, a combinação linear em
do lado esquerdo teria de ser representável como produto de uma função só de
por uma função só de
. Agora vamos estudar essa possibilidade.
Passo 4
Observe a dependência em
do lado esquerdo: é uma função afim (linear) em
, do tipo
. Do lado direito
é produto. Uma forma natural de tentar igualar as duas é supor que
seja uma função linear em
, ou seja
onde
e
são constantes (não dependem de
). Então
Comparando com
devemos ter igualdade para todo
, logo os coeficientes de
e os termos independentes de
devem coincidir:
Passo 5
A partir do sistema
temos alguns casos a considerar (vou trabalhar cada um devagar):
Caso 1:
.
- Então
e as equações ficam e . - Assim, se
é necessário (a função nula). Nesse caso a EDO é
que é a equação linear homogênea de primeira ordem. Esta é separável porque
ou seja, o caso
é separável.
Caso 2:
.
- Então
(constante não nula se quisermos que não seja identicamente zero). As equações ficam e . - Portanto é necessário
. Nesse caso a EDO é
que também é separável (bastando tomar
e
): integra-se
. Assim o caso
é separável.
Caso 3:
e
.
- Podemos dividir as duas igualdades para eliminar
:
- O lado esquerdo é constante (razão de constantes), logo o lado direito deve ser constante para todo
. Isso implica que é uma constante. Em outras palavras existe constante tal que
- Então
com constante . Substituindo em obtemos
que é separável:
.
Passo 6
Resumindo a análise lógica: a igualdade
para todo
força
a ser uma função afim
e, portanto, leva às três possibilidades já listadas. Não existe, em geral, uma representação produto
para uma soma arbitrária
a menos que as funções
e
satisfaçam as relações específicas acima.
Passo 7
Agora dou as fórmulas explícitas de solução nos casos separáveis (para você ver como usar na prova):
- Caso
(homogênea):
ou
- Caso
:
- Caso
com constante (e não identicamente zero):
Integrando:
ou
portanto
Passo 8
Dois exemplos rápidos para fixar:
- Exemplo não separável:
. Aqui e . A razão não é constante, logo a equação não é separável (exceto em pontos isolados). - Exemplo separável (proporcional):
. Aqui então e
que integra direto:
etc.
Resposta
(a) Não, em geral a equação
não é uma equação de variáveis separáveis, porque o termo do lado direito
é soma de duas dependências (uma em
e outra só em
) e não se escreve, para funções arbitrárias
e
, como um produto
.
(b) A EDO torna-se separável exatamente nas seguintes situações:
-
(caso homogêneo), quando e . -
, quando e . - existe constante
tal que para todo (ou seja, e são proporcionais com razão constante), caso em que e .