(\mathbf{1}, \mathbf{0}) Considere a família de Hipérboles centradas em \left(x_{0}, y_{0}\right) :
f(x, y)=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=C, \quad a, b>0 .
Encontre a equação diferencial cujas soluções são exatamente as curvas que representam a hipérbole acima.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de hipérboles centradas em \left(x_{0},y_{0}\right)
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=C,\qquad a,b>0,
e pede a equação diferencial cuja família de soluções é exatamente essa família de curvas.
Informações importantes dadas:
  • As constantes presentes são x_{0},y_{0},a,b,C.
  • Note que se multiplicarmos toda a equação por um escalar não nulo obtemos a mesma curva (há redundância entre 1/a^{2},1/b^{2} e C), por isso a família efetivamente depende de quatro constantes independentes. Portanto esperamos uma EDO de ordem 4.
  • A função incógnita é y=y(x). Todas as derivadas e constantes que aparecerem abaixo serão tratadas como funções/constantes em relação a x.

Passo 2

Para simplificar a notação, definimos
X:=x-x_{0},\qquad Y:=y-y_{0},\qquad A:=\frac{1}{a^{2}},\qquad B:=\frac{1}{b^{2}}.
Assim a equação da família fica
A X^{2}-B Y^{2}=C. \tag{1}
Aqui A,B,C,x_{0},y_{0} são constantes. Diferenciando (1) em relação a x (lembre: dX/dx=1,\\ dY/dx=y') obtemos:
2A X - 2B Y y' = 0,
ou seja
A X = B Y y'. \tag{2}

Passo 3

Derivamos (2) em relação a x. Como A,B são constantes, dX/dx=1 e dY/dx=y', temos
A\cdot 1 - B\big(y'^{2}+Y y''\big)=0,
ou seja
A = B\big(y'^{2}+Y y''\big). \tag{3}
Agora dividimos (2) por (3) (assumindo X\neq0 e B\neq0) para eliminar A e B:
\frac{A X}{A} = \frac{B Y y'}{B\big(y'^{2}+Y y''\big)} \quad\Rightarrow\quad X = \frac{Y y'}{\,y'^{2}+Y y''\,}. \tag{4}

Passo 4

Derivamos a igualdade (4). O lado esquerdo dá dX/dx=1. No lado direito aplicamos a regra do quociente com numerador N:=Y y' e denominador D:=y'^{2}+Y y''. Calculamos:
\frac{dN}{dx}=y'^{2}+Y y'',\qquad \frac{dD}{dx}=3y'y''+Y y'''.
Pela regra do quociente,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{N}{D}\right) = \frac{(\,y'^{2}+Y y''\,)D - N(3y'y''+Y y''')}{D^{2}}.
Como o lado esquerdo é 1, igualando e simplificando obtemos
1 = 1 - \frac{N(3y'y''+Y y''')}{D^{2}},
logo
N(3y'y''+Y y''')=0.
Na situação genérica temos N=Y y'\neq 0 (casos degenerados dão curvas especiais), então
3y'y''+Y y'''=0. \tag{5}

Passo 5

Da equação (5) isolamos Y:
Y = -\frac{3y'y''}{y'''}.
Substituímos essa expressão em (4) para obter X em termos das derivadas de y. Fazendo as substituições e simplificando chega-se a
X = -\frac{3y'y''}{\,y' y''' - 3 y''^{2}\,}. \tag{6}
Portanto X e Y foram expressos apenas por y',y'',y'''.

Passo 6

Voltemos à equação (1) escrita como
\frac{A}{B} X^{2} - Y^{2} = \frac{C}{B}.
Definimos K:=A/B e L:=C/B (constantes). Da relação (2) temos K = \dfrac{A}{B} = \dfrac{Y y'}{X}. Usando (5) e (6) e calculando K X^{2}-Y^{2} obtemos, após simplificações algébricas (fatorizações e cancelamentos),
K X^{2}-Y^{2} = \frac{27\, (y')^{2} (y'')^{4}}{(y''')^{2}\big(y' y''' - 3 (y'')^{2}\big)}.
Mas o lado esquerdo é exatamente L, uma constante (igual a C/B) ao longo da curva. Logo a função racional à direita é constante ao longo de cada solução; isto é,
\frac{27\, (y')^{2} (y'')^{4}}{(y''')^{2}\big(y' y''' - 3 (y'')^{2}\big)} = \text{constante}. \tag{7}

Passo 7

Da observação anterior (7) segue diretamente a equação diferencial procurada: a derivada em relação a x dessa quantidade constante é zero. Portanto as curvas da família são exatamente as soluções da EDO
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{27\, (y')^{2} (y'')^{4}}{(y''')^{2}\big(y' y''' - 3 (y'')^{2}\big)}\right)=0.
Esta é uma EDO de ordem 4 (aparece até y^{(4)} quando se desenvolve a derivada) cuja família geral de integrais contém exatamente as hipérboles dadas (com as constantes correspondentes a x_{0},y_{0},a,b,C apropriados).

Resposta

\frac{d}{dx}\!\left(\frac{27\, (y')^{2} (y'')^{4}}{(y''')^{2}\big(y' y''' - 3 (y'')^{2}\big)}\right)=0.

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