( \mathbf{2 , 0 ~ p t} ) Em um parque de diversões uma sirene de 580 Hz está na extremidade de um brinquedo em forma de disco, com 10 m de raio, que gira com uma velocidade angular de 2,5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Quais são as frequências mais baixa e mais alta escutadas por um ouvinte distante, em repouso em relação ao brinquedo?

Passo 1

O enunciado dá uma sirene de frequência f_0 = 580 Hz na borda de um disco de raio R = 10 m que gira com velocidade angular \omega = 2{,}5 rad/s. Queremos as frequências mínima e máxima que um ouvinte fixo e distante escuta devido ao efeito Doppler para fonte móvel.

Passo 2

A velocidade linear da sirene é
v = \omega R = 2{,}5 \times 10 = 25\;\text{m/s}.

Passo 3

Para uma fonte se movendo com velocidade v e ouvinte em repouso, as frequências ouvidas quando a fonte se aproxima e quando se afasta são, respectivamente,
f_{\text{máx}} = f_0 \,\frac{c}{c - v}, \qquad f_{\text{mín}} = f_0 \,\frac{c}{c + v},áí
onde c é a velocidade do som (aproximamos c = 340 m/s).

Passo 4

Substituindo f_0 = 580 Hz, v = 25 m/s e c = 340 m/s:
f_{\text{máx}} = 580 \,\frac{340}{340 - 25} \approx 580 \times 1{,}0794 \approx 626\;\text{Hz},á
f_{\text{mín}} = 580 \,\frac{340}{340 + 25} \approx 580 \times 0{,}9315 \approx 540\;\text{Hz}.í

Resposta

A frequência mínima é aproximadamente 540 Hz e a máxima é aproximadamente 626 Hz.

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